7.4. A reverzibilis ligandum-kötés általános matematikai leírása

A mioglobin és a hemoglobin kismolekulát, tehát ligandumot kötő fehérjék. Ahhoz, hogy a ligandum-kötő tulajdonságaikat mennyiségileg is jellemezni tudjuk, be kell vezetnünk az ehhez szükséges egyenleteket.

Az alábbi egyenletekben egy általános fehérje (P, protein) köt ligandumot (L) az alábbi egyszerű séma szerint:

7.1. egyenlet

A 7.1. egyenlet az alábbi, az egyensúlyt kifejező egyenlethez vezet:

7.2. egyenlet

A 7.2. egyenletben Ka az asszociációs állandó, PL a  fehérje-ligandum komplex, P, a fehérje, L a ligandum, a szögletes zárójel pedig molaritásban kifejezett koncentrációt jelöl. Emlékezzünk rá, hogy a disszociációs állandó, a Kd az asszociációs állandó reciproka. (Kd = 1/ Ka; a két állandó közül a Kd-t használják gyakrabban, részben azért, mert koncentráció dimenziója miatt szemléletesebb kifejezője a kötéserősségnek).

A 7.2. egyenlet egyszerű átrendezésével a 7.3. egyenlethez jutunk.

7.3. egyenlet

Az egyenlet szövegesen kifejezve azt mutatja meg, hogy a komplexált fehérje és a szabad fehérje aránya egyenesen arányos a szabad ligandum koncentrációjával.

Nagyon fontos megállapítás, hogy amennyiben az összes ligandum koncentrációja nagyságrendekkel meghaladja a fehérje koncentrációját, úgy a szabad ligandum koncentrációja nagyságrendekkel meg fogja haladni a komplexben lévő ligandum koncentrációját: [L]>>[PL]. A komplexben lévő ligandum koncentrációja ugyanis legfeljebb akkora lehet, mint a fehérje koncentrációja.

Ez viszont azt jelenti, a teljes ligandum koncentrációból elhanyagolható mértékű lesz a komplex részesedése, így a teljes ligandum és a szabad ligandum koncentrációja jó közelítéssel azonosnak tekinthető: [L] ≈ [L]totál. Számos biológiai példa, így az oxigénkötő fehérjék esetére is teljesül ez a feltétel.

A 7.3. egyenletet átrendezve a 7.4. egyenletet kapjuk, amit a következő lépésben felhasználunk.

7.4. egyenlet

A 7.3. egyenlet és a 7.4. egyenlet kombinálásával a 7.5. egyenletrendszerhez jutunk, amelyben bevezetjük a telítés fogalmát.

7.5. egyenlet

A telítés (teta, θ) fogalma rendkívül egyszerű, ugyanakkor központi jelentőségű. A telítés azt mutatja meg, hogy az összes fehérje hanyadrésze van komplexben, tehát ligandumkötött állapotban. Vegyük észre, hogy a 7.5. egyenlet nevezőjében a teljes fehérjekoncentráció szerepel, hiszen a szabad fehérje és a komplexben lévő fehérje koncentrációja együttesen a teljes fehérje koncentrációt adja meg. A telítés értéke 0 és 1 között lehet.

Ha nincs PL komplex, (mert nincs jelen ligandum), akkor a telítés értéke nulla.

Ha pedig az összes fehérje PL komplexben van, mert „végtelenül” nagy a ligandum koncentrációja, akkor a nevezőben lévő szabad fehérje koncentráció lesz nulla, a hányados értéke pedig egy lesz.

Vegyük észre, hogy az egyenletrendszer egyszerűsítésekor a fehérje koncentrációja „kiesik”. Elsőre ez talán meglepő lehet, hiszen miért ne függene a telítés mértéke a fehérje koncentrációjától. A megoldás az, hogy az utolsóként kapott egyenletben a szabad ligandum koncentrációja, és a Kd, tehát a disszociációs állandó szerepel. A disszociációs állandóban pedig rejtve ugyan, de szerepel a szabad fehérje és a komplexben lévő fehérje aránya.

Mindenesetre a disszociációs állandó kísérletes meghatározását követően bármely szabad ligandum koncentrációnál meg tudjuk mondani, hogy mekkora a telítés értéke. Ha a fent már említett [L] ≈ [L]totál összefüggés fennáll, akkor pedig számolhatunk a szabad helyett a teljes ligandum koncentrációval, amit kísérletesen mi szabunk meg.

A 7.5. egyenletből látható, hogy amikor a szabad ligandum koncentrációja éppen megegyezik a disszociációs állandó számértékével, akkor a telítés értéke 0,5. Ez azt jelenti, hogy az összes fehérjének éppen a fele van ligandum-kötött állapotban (komplexben), a másik fele szabad formában van (lásd 7.7. ábra).

7.7. ábra: A telítési görbe: a telítés értékének függése a szabad ligandum koncentrációjától

7.7. ábra: A telítési görbe: a telítés értékének függése a szabad ligandum koncentrációjától

Folyadékban oldott gáz esetében dinamikus egyensúly áll fenn az oldat és a felette elhelyezkedő atmoszférában lévő gáz között. A folyadékban oldott gáz koncentrációja és az atmoszférában lévő gáz parciális nyomása között egyenes arányosság van. Ezért amikor a ligandum egy oldott gáz, akkor kényelmi okokból az oldat koncentrációját az azzal arányos parciális nyomással helyettesítik (lásd 7.8. ábra, ami történetesen a mioglobin oxigéntelítési görbéjét írja le).

7.8. ábra: A mioglobin telítési görbéje – gázoknál koncentráció helyett parciális nyomást alkalmazunk

7.8. ábra: A mioglobin telítési görbéje – gázoknál koncentráció helyett parciális nyomást alkalmazunk

A fent leírtak értelmében, ahogy azt a 7.8. ábra illusztrálja, az oldatkoncentráció helyett a parciális nyomást alkalmazzuk, és ennek megfelelően a Kd-t fogalma helyett bevezetésre kerül a p50 fogalma, ami a fél-telítettséghez tartozó parciális nyomás.

A 7.5. egyenletnek egy egyszerű telítési görbe felel meg, amely a matematika nyelvén megfogalmazva egy derékszögű hiperbola függvény. Ennek általános felírása: Y=P1X/(P2+X), ahol X a független változó a ligandum koncentráció (amit jelen esetben a parciális nyomás helyettesít), Y a függő változó, jelen esetben a telítés értéke, a P1 és P2 pedig a függvény paraméterei. Jelen esetben P1 a maximális telítési érték, vagyis konkrétan 1, a P2 pedig a disszociációs állandó (amit a p50 helyettesít). A telítési görbe azt mutatja, hogy „végtelenül nagy” ligandum koncentráción az összes fehérje ligandumot köt.

A mioglobin oxigénkötését ilyen egyszerű, derékszögű hiperbola típusú telítési görbe írja le. (Érdemes már előre jeleznünk, hogy hasonló telítési görbe írja le azt, hogy hogyan függ az enzimkatalizált reakció sebessége a szubsztrát koncentrációjától, lásd 8. fejezet)