I.2. A hidro-termodinamikai egyenletrendszer alakja, lezárási hipotézisek

E részben elsőként megadjuk a légköri hidro-termodinamikai egyenletrendszer általános alakját. A légköri modellekben tér- és időbeli átlagokkal dolgozunk. Megismerkedünk a Reynolds-féle átlagolás szabályaival, majd az átlagokra, illetve a magasabb momentumokra vonatkozó egyenleteket írjuk fel. Ezt követi a lezárási hipotézisek áttekintése. A numerikus modellekben alkalmazott koordináta-rendszerekről, az adatasszimiláció matematikai hátteréről és az egyes parametrizációs eljárásokról a II. fejezetben olvashatnak.

I.2.1. Az egyenletrendszer általános alakja

Nézzük meg a légköri hidro-termodinamikai egyenletrendszer általános alakját a Földhöz rögzített Descartes-féle koordináta-rendszerben kibővítve az egyes fázisokra vonatkozó nedvességszállítási egyenlettel és a szennyezőanyag-szállítási (az adott szennyezőanyagra vonatkozó kontinuitási) egyenlettel!

Ezeket az egyenleteket primitív vagy teljes (szűretlen) egyenleteknek nevezik. Megjegyezzük, hogy az egyenletek térben és időben mindenütt teljesülnek (minden helyen és minden időpillanatban).

A Navier–Stokes egyenletek:

,

(I.1.)

,

(I.2.)

.

(I.3.)

A szokásos jelölések szerint az u, v, w az x, y és z irányú sebességkomponens. A koordináta-rendszer x tengelye keletre, y északra, míg z felfelé (függőleges irányba) mutat, p a nyomás, ρ a sűrűség (ha mást nem írunk, akkor a nedves levegőre vonatkozik), g a nehézségi gyorsulás, ami az abszolút nehézségi gyorsulás és a Föld forgásából származó centrifugális erő összegéből számítható, f a Coriolis-paraméter, l a Coriolis-erő számításánál használt – földrajzi szélesség koszinuszával arányos – paraméter:

,   ,

(I.4.)

ahol a Föld-forgás szögsebessége, a földrajzi szélesség. A molekuláris viszkozitásból származó súrlódási erő három komponense rendre Fsx, Fsy, Fsz, melynek legáltalánosabb alakja:

,

(I.5.)

,

(I.6.)

.

(I.7.)

A molekuláris viszkozitási erő egyszerűen felírható vektori formában is:

,

(I.8.)

ahol a sebességvektor, és rendre a nabla- és a Laplace-operátor a kinematikai viszkozitási tényező. A légköri modellekben a molekuláris viszkozitást nem veszik figyelembe. Ez a felszín közeli néhány mm-es, cm-es rétegben fontos. Ezután a tulajdonságszállításért a turbulens örvények felelnek. Megjegyezzük, hogy a turbulencia, vagyis az átlagos mozgástól vett eltérés csak a modell tér- és időbeli felbontása alapján értelmezhető.

Áramlástani megoldókban pl. belterek modellezésében, vagy egy épület körüli áramlásban a falhatásnak, vagyis a molekuláris diffúziónak fontos szerepe van. Az ilyen modellekben a rácsfelbontás a határfelület közelében – a feladat jellegétől függően – akár néhány mm-es is lehet.

Érdemes a harmadik mozgásegyenletnek külön figyelmet szentelni. Ugyanis a nagytérségű és a mezoskálájú mozgások jelentős részében a vertikális sebesség megváltozása elhanyagolhatóan kicsi az egyenletben szereplő többi taghoz képest. Ezeknek a mozgásoknak a leírásánál eltűnik a w mint prognosztikai változó és az egyenlet a sztatika alapegyenletére, azaz egy diagnosztikai egyenletre egyszerűsödik:

.

(I.9.)

A fenti közelítést hidrosztatikus közelítésnek nevezzük és hozzávetőlegesen 10 km-es rácsfelbontásig alkalmazható biztonsággal, a néhány km-es térskálájú folyamatok leírásánál a vertikális feláramlás megváltozása már nem hanyagolható el, és célszerű a harmadik mozgásegyenletet teljes alakjában tekinteni. Megjegyezzük, hogy a vertikális sebesség teljes időbeli változásának nulla volta nem jelenti azt, hogy nincs vertikális sebesség a modellben, hanem arra utal, hogy a vertikális sebességet nem prognosztikai, hanem diagnosztikai változóként kezeljük. A vertikális szélmező a kontinuitási egyenleten keresztül adaptálódik a horizontális áramlási mezőhöz. Ilyen értelemben beszélünk kvázisztatikus közelítésről.

A kontinuitási egyenlet:

   illetve    ,

(I.10.)

vagy komponensekkel kiírva:

.

(I.11.)

A termodinamikai egyenletet általában a potenciális hőmérséklet segítségével írjuk fel. A potenciális hőmérséklet az a hőmérséklet, amit a légrész felvenne, ha száraz adiabtikus folyamat során a -os referencia szintre vinnénk. Ne feledjük, hogy a potenciális hőmérséklet logaritmikus változása arányos az entrópiával (lásd a termodinamika II. főtételét is, Götz és Rákóczi, 1981). Az egyenlet bal oldalán szerepelnek i) a fázisátalakulási tagok, ii) a molekuláris viszkozitás és iii) a további hőbevételi, vagy hőleadási tagok, mint pl. a sugárzási folyamatok. A víz három fázisban lehet jelen. Megjegyezzük, hogy a korszerű felhőfizikai modellekben a víz és a jégfázis közötti átmeneteket is figyelembe veszik (Geresdi, 2004; Kullmann, 2007):

,

(I.12.)

ahol a potenciális hőmérséklet, p0 a referencia nyomás () Rm, cpm a nedves levegő specifikus gázállandója, illetve állandó nyomáson vett fajhője, Llv, Liv, Lil a párolgási, szublimációs és az olvadási hő, a molekuláris diffúzió hatását leíró tag. a hőmérséklet diffúziós együtthatója (v. hővezetési tényező), dimenziója [ms–1]. A felszín közeli lamináris hártya parametrizálásától eltekintve, elhanyagolják a molekuláris diffúziós tagot. QR az egyéb hőbevételt, illetve hőleadást tartalmazza. Ilyen lehet pl. a sugárzási folyamatok hatása. Ha a fázisátalakulások során a vízgőz mennyisége a felhőelemek rovására nő, akkor az ehhez szükséges hőt a légrész biztosítja, emiatt van negatív előjel a jobboldal első tagja előtt.

A nedvesség szállítási egyenletet – a termodinamikai egyenlet fenti alakja szerint három egyenletből áll. Külön kell vizsgálni a gőz- (ρv), a víz- (ρw) és a jégfázisban (ρi) levő víz sűrűségváltozását. (Megjegyezzük, hogy a gyakorlati számításokban a víz különböző fázisaira vonatkozó specifikus nedvesség változását elemezzük, ahogy azt később látni fogjuk.)

,

(I.13.)

,

(I.14.)

,

(I.15.)

ahol Mlv, Miv, Mil megadja a fázisátalakulási folyamatok sebességét. Megmutatja, hogy egységnyi idő alatt mennyi vízgőz (v) képződik a vízfázis (l) párolgásával (Mlv), a jégkristályok (i) szublimációjával (Miv), továbbá mennyi víz keletkezik a jégkristályok olvadásából (Mil) az adott térrészben. Az Sw, Si korrekciós tag fejezi ki a légrészbe besodródó, illetve behulló felhő- és csapadékelemek sebessége és a szélsebesség közötti különbség hatását a vízcseppecskék és a jégrészecskék szállításában. Ha a légrész a felszínnel érintkezik, akkor mindhárom egyenlet jobb oldala kiegészül egy további forrás/nyelő taggal. Ez megadja, hogy mennyi vízgőz (Fv), víz (Fw), illetve jégkristály (Fi) kerül a felszínről a légrészbe, illetve a légrészből a felszínre egységnyi idő alatt. Gondoljunk csak egy város antropogén nedvesség kibocsátására (nedves-légkondicionáló berendezések, ipartelepek, hűtőtornyok, stb.), vagy hófúvásra, esetleg a tengeri hullámok taréjáról leszakadó és a légkörbe kerülő vízcseppecskékre. A felszíni párolgás, illetve a kondenzáció modellezésére is készíthetünk parametrizációt, de figyelembe vehetjük e folyamatokat a molekuláris diffúzió (Dv) beépítésével is.

A molekuláris diffúziós tag (Dv) alakja:

,

(I.16.)

ahol, a vízgőzre vonatkozó molekuláris diffúziós együttható, dimenziója [m2 s–1].

Ha eltekintünk a kémiai reakcióktól, elhanyagoljuk a molekuláris diffúziós tagot, továbbá, ha a légrész nem érintkezik a felszínnel, akkor a teljes vízmennyiség csak a légrészbe behulló, illetve besodródó felhő- és csapadékelemek mennyiségétől függ. A légrész specifikus nedvességének (a légrészben levő teljes víztartalom koncentrációjának)

(I.17.)

időbeli változására felírt egyenlet – ami a fentiek alapján három egyenletre bontható – a következőképpen adható meg:

.

(I.18.)

Telítetlen levegőben qqvs qw = q= 0 és qv; telített levegőben qqvs. A szokásos jelölések szerint qv, qvs, qw, qi a telítetlen nedves levegőre, a telített nedves levegőre, illetve a vízfázisra és a gőzfázisra vonatkozó specifikus nedvesség.

A szennyezőanyag szállítási egyenlet.A légköri áramlási mező ismeretében egyszerűen modellezhető a szennyező anyagok szállítása is. Egy elmozduló légrészben a szennyezőanyag koncentráció függ a besodródó szennyezőanyag mennyiségtől (Sc) (a légrészbe hulló aeroszol részecskék, illetve a felhő- és csapadékelemek által szállított szennyeződés), valamint a kémiai reakciók eredményeként bekövetkező koncentráció változástól (Fc), amit egy forrás/nyelő taggal parametrizálunk. Ha a légrész érintkezik a talajjal, akkor, a talaj hatását egy további forrás/nyelő taggal vesszük figyelembe, ami megadja az időegység alatt a légkörbe jutó, vagy onnan kikerülő szennyezőanyag mennyiségét (). Figyelembe vehetjük a molekuláris diffúziós folyamatokat (Dc) is. Hangsúlyozzuk, hogy a turbulens kicserélődési folyamatokat nem kell külön parametrizálnunk, hiszen pillanatnyi koncentráció értékekkel dolgozunk.

A szennyezőanyag szállítási egyenletet a nedvességszállítási egyenlet analógiájára írjuk fel. Legyen ρca szennyezőanyag sűrűsége, pedig a keverési aránya, vagy más szóval a koncentrációja:

.

(I.19.)

Ekkor a szennyezőanyag sűrűségére vonatkozó kontinuitási egyenlet:

,

(I.20.)

ahol a molekuláris diffúzió hatását leíró tag, a képletben szereplő konstans a mértékegységek közötti átváltásból származó állandó. az adott szennyezőanyagra jellemző molekuláris diffúziós együttható; dimenziója [ms–1]. A felszínközeli lamináris hártya parametrizálásától eltekintve a molekuláris diffúziós tag általában elhanyagolható.

A nedves levegőre és az adott szennyezőanyagra vonatkozó kontinuitási egyenlet összevetéséből kapjuk a szennyezőanyag koncentráció változására vonatkozó

(I.21.)

összefüggést.

Az eddig bemutatott prognosztikai egyenletek mellett szerepel még egy diagnosztikai egyenlet, az állapotegyenlet is. Ez nedves levegőre vonatkoztatva:

,

(I.22.)

ahol a tömegegységnyi légrész térfogata (vagy specifikus térfogata) Rm a specifikus gázállandó.

A fentiekben bemutatott hidro-termodinamikai egyenletrendszer olyan parciális differenciálegyenlet-rendszer, melynek nincs általános analitikus megoldása, ezért megoldásához numerikus módszerek szükségesek. Az egyenletek nem-lineárisak (az egyes tagokban szerepelnek az ismeretlen mennyiségek és azok deriváltjai is), tükröződik bennük a légkör kaotikus viselkedése – ami felveti az előrejelezhetőség problémáját (Götz, 2001; 2006). Az egyenletekben vannak közvetlenül nem mérhető mennyiségek, gondoljunk csak a fázisátalakulások során felszabaduló hőre, vagy egyéb nem-adiabatikus folyamatok eredményére, pl. energia-disszipáció. A légköri hidro-termodinamikai egyenletrendszer térben és időben mindenütt teljesül. A numerikus modellekben azonban egy térbeli rácson adott időlépésekkel dolgozunk, ezért az egyenletek megoldása során térbeli és időbeli átlagértékeket kapunk. A gyakorlatban tehát az átlagos értékekre írjuk fel az egyenleteket. Ugyanakkor számos további olyan légköri folyamat van, amely az alkalmazott rácsméretnél kisebb skálán befolyásolja az áramlási rendszer fejlődését, és közvetlenül nem építhető be az egyenletekbe. Újabb egyenletekre, parametrizációs eljárásokra van szükségünk. Gondoljunk csak a sugárzásátviteli folyamatokra, a talajfizikára, vagy a turbulenciára. Az átlagolás során például megjelennek az egyenletekben a második turbulens momentumok, s ennek következtében több lesz az ismeretlen, mint a megoldásra váró egyenlet. Ezt a problémát az egyenletrendszer lezárásával oldjuk meg. Különböző rendű lezárási hipotézisek vannak.

A következő részben elsőként a meteorológiai állapotjelzők felbontásával (átlagok és szórások) foglalkozunk, majd röviden áttekintjük az átlagokra és a magasabb momentumokra felírt egyenleteket, végül különböző lezárási hipotéziseket ismerünk meg.

I.2.2. Átlagok és fluktuációk

Nézzük a legegyszerűbb ún. Reynolds (1895) átlagolást! Legyen X(xyzt) és Y(xyzt) állapotjelző a tér és az idő folytonos, többszörösen deriválható függvénye (Van Mieghem, 1973; Götz és Rákóczi, 1981). Vizsgálódjunk adott térrészben, különböző időpillanatokban! Így a gyakorlatban mindig térbeli és időbeli átlagolást végzünk. Az átlagolást egy matematikai operációnak (az adott térrészre és az adott átlagolási időszakra vonatkozó tér- és időbeli integrálásnak) tekintve az alábbi posztulátumokat tehetjük:

,

(I.23.)

,

(I.24.)

,

(I.25.)

ahol A és B állandók, s adott tér-, vagy idő-koordináta . Az X és az Y állapotjelző tetszőleges pontban és t időpillanatban az átlagérték (,) és az ettől vett eltérés az ún. fluktuáció (,) összegeként írható fel:

,   .

(I.26.)

A fenti felírásból következik a Reynolds-féle átlagolás negyedik posztulátuma:

,   ,

(I.27.)

vagyis a fluktuációk átlaga nulla.

Az átlagértékek (első momentumok) mellett felírhatók a második, illetve a magasabb rendű momentumok is. Nézzük a második momentumok, vagyis az X és Y változók közötti kovariancia () és a szórásnégyzet (, ) alakját, s adjuk meg a korrelációt () is!

,

(I.28.)

,

(I.29.)

,

(I.30.)

.

(I.31.)

Az állapothatározók fenti felbontásánál bonyolultabbak is léteznek. Vizsgáljunk  olyan meteorológiai állapotjelzőt, amelynek az időbeli változása tartalmazza mind a nagyskálájú, mind a mezoskálájú, mind a lokális hatásokat! Ekkor a nagyskálájú folyamatokra vonatkozó átlagértékre rakodó fluktuációk még mindig tartalmazzák a mezoskálájú és a lokális skálájú perturbációkat.

.

(I.32.)

Két átlagolási időt vezetünk be: egyet a nagyskálájú, s egyet a mezoskálájú folyamatokra. A fenti definícióval is értelmezhetők a második momentumok (szórásnégyzet, kovariancia) és a korreláció is.

Vannak olyan esetek, amikor nem alkalmazhatunk egyszerű átlagolást. Gondoljunk, pl. az impulzusátlagra. Az impulzus maga is két mennyiség, a sebesség és a tömeg (illetve ha egységnyi térfogatot vizsgálunk, akkor a sűrűség) szorzata. Ez úgy fogható fel, mint a sebesség súlyozott átlaga és az átlagos sűrűség szorzata (Van Mieghem, 1973; Götz és Rákóczi, 1981; Kowalski, 2012).

,

(I.33.)

ahol az eddigi jelöléseknek megfelelően a sűrűség és az x irányú sebesség pillanatnyi értékei: , . Ekkor a sebesség átlaga helyett, annak a sűrűséggel súlyozott átlagát kell alkalmaznunk. Ez biztosítja, hogy a mozgásegyenletekben az eddigiekhez hasonlóan az átlagos sűrűséggel dolgozhassunk. A súlyozott átlagolást hullámvonallal, míg a pillanatnyi érték és a súlyozott átlag közötti eltérést a kétvesszős fluktuációs mennyiséggel jelöljük:

,  ,   .

(I.34.)

A légköri modell-egyenletekben a sűrűség fluktuációt egyedül a felhajtóerő leírásában kell figyelembe venni , máshol a feltételezéssel élünk. Ez az ún. Boussinesq-féle közelítés (Götz és Rákóczi, 1981).

I.2.3. Az átlagos mozgásokra és a magasabb momentumokra felírt egyenletek

A következő lépésként az átlagos mozgásokra vonatkozó egyenleteket írjuk fel Práger (1982) Nieuwstadt és Van Dop (1982) szerint. Az adott prognosztikai egyenlet és a kontinuitási egyenlet kombinálásával kapjuk a turbulens tagokat is tartalmazó új egyenleteket.

Sokszor az ún. indexes jelölés alkalmazásával írjuk fel az egyenleteket. E fejezetben, az egyszerűség kedvéért (ahol lehet) a hagyományos írásmódot követjük.

Navier–Stokes egyenletek:

,

(I.35.)

 

,

(I.36.)

.

(I.37.)

Az egyenletek baloldalán új ismeretlenekként megjelennek a turbulens áramok. (A turbulens súrlódás a horizontális és a vertikális áramok térbeli deriváltjaitól függ.) Az utolsó tag a molekuláris viszkozitás hatását mutatja. Ez a meteorológiai modellekben – a felszín-légkör kölcsönhatások parametrizációja miatt nem játszik szerepet, míg a falhatást is leíró áramlástani megoldókban (kis rácsfelbontás) a modellezés egyik központi szereplője.

A fluktuációk időbeli változására vonatkozó egyenleteket úgy kapjuk, hogy a pillanatnyi értékekre felírt egyenletekből kivonjuk az átlagos értékekre vonatkozó egyenleteket. A Boussinesq-féle közelítés a vertikális sebesség fluktuációjának időbeli változását leíró egyenletben jelenik meg a tag formájában. Ezeket az egyenleteket itt nem vezetjük le, mert a dinamikus meteorológia tárgykörébe tartoznak. Szerepük a második és a magasabb momentumok leírásában lesz (Stull, 1988).

A kontinuitási egyenlet alakja a sűrűségfluktuációk elhanyagolásával:

.

(I.38.)

Nem alkalmaztuk a súlyozott átlagolást, ami a légköri modellekben elfogadott.

 A turbulens hőszállítás hatása megjelenik az átlagértékekre felírt termodinamikai egyenletben is.

.

(I.39.)

Az egyszerűbb írásmód érdekében a fázisátalakulási folyamatokat összevontan, az tagban vesszük figyelembe.

A nedvességszállítási egyenletet a teljes specifikus nedvességre adjuk meg:

.

(I.40.)

Hasonló módon írjuk a szennyezőanyag-szállítási egyenletet is:

(I.41.)

Utolsóként az átlagos értékekre vonatkozó állapotegyenletet írjuk fel.

.

(I.42.)

A második momentumok időbeli változását az adott fluktuációkra vonatkozó egyenletek összeadásával, majd időbeli átlagolásával kapjuk. Így az egyenletekben megjelennek a harmadik momentumok is. Példaként két egyenletet mutatunk be, azoknak is a meteorológiai gyakorlatban használt egyszerűsített alakját. Elsőként a turbulens kinetikus energia

(I.43.)

időbeli változását vizsgáljuk. Ehhez a három sebességkomponens fluktuációs egyenletét használjuk fel. Az egyenlet felírásánál horizontálisan homogén és izotróp turbulencia feltételezésével élünk. (1D turbulencia modellekkel dolgozunk.) Nem vesszük figyelembe a turbulens kinetikus energia advektív és konvektív változását sem. Csak az x és az y irányú vertikális turbulens impulzusáram , ) magasságszerinti változásával számolunk. A nyomásfluktuációk turbulens kinetikus energia generációjánál csak a vertikális sebességfluktuációkkal számolunk.

.

(I.44.)

A jobb oldal első két tagja a szélnyírás és a turbulens impulzusáram hatását mutatja. A harmadik tag a felhajtóerő, a negyedik tag a harmadrendű turbulens momentumok, míg az ötödik tag a nyomási fluktuációk turbulens kinetikus energia generációjában játszott szerepét mutatja. A hatodik tag (ε) a turbulens kinetikus energia disszipáció. Ez a szenzibilis hőáram időbeli generációjában jelenik meg, a turbulens kinetikus energia hővé alakulását írja le. ε általános alakjának a bemutatásához – bonyolultsága miatt – az indexes jelölést alkalmazzuk. Az egyes indexek 1-től háromig futnak. A koordináta-irányokat , a sebességfluktuációkat jelöli:

.

(I.45.)

A képletben a korábban már említett kinematikai viszkozitási tényező.

A másik fontos egyenlet a turbulencia parametrizálásában a turbulens kinetikus energia disszipáció időbeli változását leíró összefüggés. Ennek alakja hasonló a turbulens kinetikus energia egyenlethez. Most is a korábban alkalmazott horizontálisan homogén és izotróp turbulencia feltételezésével élünk:

,

(I.46.)

ahol C1, C2 és Ckorrekciós tagok, míg [m2 s–1] a turbulens diffúziós együttható, ami a dimenzióanalízis segítségével:

,

(I.47.)

ahol C4 egy újabb korrekciós tag.

A legfontosabb kormányzó-egyenletek felírása után röviden tekintsük át a lezárási hipotéziseket!

I.2.4. Lezárási hipotézisek

A meteorológiai állapothatározók átlagértékeire felírt egyenletekben megjelennek – új ismeretlenként – a második momentumok. Ezek meghatározására két lehetőség van. Vagy a már ismert mennyiségek alapján parametrizáljuk őket, vagy megoldjuk a második momentumok időbeli változására felírt egyenleteket. Ebben az esetben azonban megjelennek a harmadik momentumok is az újabb prognosztikai egyenletekben. Ismét több lesz az ismeretlen, mint a megoldásra váró egyenlet.

Az alkalmazott egyenletrendszer lezárásakor az ismeretlenek és a megoldásra váró egyenletek száma azonos. Attól függően, hogy milyen típusú meteorológiai állapothatározókat (milyen rendű momentumokat használunk fel) a parametrizációk során beszélhetünk első-, másod és magasabb rendű lezárási hipotézisekről. Elsőrendű lezárási hipotézisek során a turbulens áramokat (második momentumok) az átlagos mennyiségekkel (első momentumok) parametrizáljuk az átlagokra felírt egyenletekben. Másodrendű lezárási hipotézisek esetén megoldjuk a második momentumokra felírt egyenleteket is. Az egyenletekben megjelenő harmadik momentumokat az átlagok és a második momentumok alapján parametrizáljuk. Gyakran találkozunk még az ún. másfeles (1,5-rendű) lezárási hipotézisekkel. Itt a második momentumokra felírt egyenletek közül csak néhányat oldunk meg: legtöbbször a turbulens kinetikus energia egyenletet, illetve a turbulens kinetikus energia disszipációs egyenletét, s ezek ismertében parametrizáljuk a turbulens keveredést, illetve a magasabb rendű momentumokat.

Vannak lokális és nem lokális lezárási hipotézisek. Lokális esetben a turbulens keveredést az adott rácscella állapotjelzői határozzák meg. A nem-lokális lezárási sémák alapfeltételezése, hogy a nagy örvények gyorsabban „szállítanak”, mint ahogyan a kis örvények „kevernek”. Itt a keveredés azt jelenti, hogy egy-egy kis örvény csak a felette és az alatta levő rácstérfogatba viszi az adott tulajdonságot, míg a szállítás azt fejezi ki, hogy egy vizsgált rácstérfogatból egy tőle távoli rácstérfogatba jut az adott tulajdonság, ahogy a szökőkútból „az ég felé tör a vízsugár”. Ezt a feltevést a megfigyelések is bebizonyították. A transilient elmélet (transilient – latinul: átugrik, átsiklik) a nem lokális lezárás legáltalánosabb formája (Stull, 1988). Az elmélet a PHR minden egyes alrétege között engedélyez keveredést.

Meteorológiai és áramlástani feladatokban általában az 1. és az 1,5. rendű lezárási hipotéziseket alkalmazzák. A következőkben ezek közül mutatjuk be a legfontosabbakat. Az egyszerűség kedvéért itt is horizontálisan homogén és izotróp turbulencia feltételezésével dolgozunk. A vertikális turbulens áramok parametrizációjával foglalkozunk. Hasonló elvek szerint modellezhetők a horizontális áramok is. A lezárási hipotézisekről részletesen olvashatnak Stull (1988), Lajos (2004), Foken (2008), Lohász és Régert (2010) munkáiban.

I.2.4.1. A turbulens áramok

  Tekintsük az Fs turbulens áramot, ami nem más, mint az adott tulajdonság (s) felületegységen időegység alatt átáramló mennyisége (I.13. ábra). Matematikailag a vertikális sebesség (w) és az s tulajdonság kovarianciája:

.

(I.48.)

A felső vesszővel jelölt mennyiségek most is az átlagértékektől vett pillanatnyi eltérést, a fluktuációt jelölik. A felülvonás a Reynolds-féle átlagolás jele (). Számításaink során – első közelítésként – feltételezzük, hogy az átlagos vertikális sebesség nulla (). Az egyszerűség kedvéért u legyen a horizontális szélsebesség. Az általánosan alkalmazott jelölések szerint az impulzus (τ), a szenzibilis (H) és a látens hőáram (LE), valamint a nyomanyag-áram (Fc) alakja:

, , ,

(I.49.)

, , ,

(I.50.)

, ,

(I.51.)

, ,

(I.52.)

ahol L a fázisátalakulási hő, a Kármán-féle konstans, z a magasság (az aktív felszín, vagy az ún. kiszorítási rétegvastagság (d) felett), , , , a dinamikus sebesség, hőmérséklet, specifikus nedvesség és koncentráció.

Az egyes tulajdonságokra (impulzus, szenzibilis és látens hő, nyomanyag) vonatkozó turbulens diffúziós együtthatók és a stabilitástól függő univerzális függvények rendre: és , ahol a dimenziónélküli magasság, ahol a Monin–Obukhov-féle hossz alakja:

.

(I.53.)

Az adott (s) tulajdonság átlagos profiljának az ismeretében, a hasonlósági elmélet alapján:

,

(I.54.)

ahol az univerzális függvények integrál alakja.

Gyakorlati számításokban a szélsebesség és a potenciális hőmérséklet különbség ismeretében a gradiens Richardson-szám felhasználásával határozzuk meg a Monin–Obukhov-féle hossz értékét iterációs eljárással (Horváth et al., 1998; Weidinger et al., 2000; Ács és Kovács, 2001),

,

(I.55.)

majd az univerzális függvények integrált alakjának ismeretében számítjuk ki az egyes turbulens áramokat. Itt a stabilitási paraméter, g a nehézségi gyorsulás.

I.13. ábra. A turbulens kicserélődés sematikus képe. Profil-fluxus kapcsolatok.

I.2.4.2. Elsőrendű lezárások

Itt a turbulens áramokat a meteorológiai állapotjelzők átlagértékeivel, illetve gradienseivel parametrizáljuk.

Az ellenállási elméletet a felszínközeli rétegben használják. A felszín () felett z1 magasságban az adott tulajdonság (s) vertikális árama (Fs) arányos a szélsebességgel () és az s tulajdonság magasságszerinti változásával ():

,

(I.56.)

ahol Cs az arányossági tényező. A felszínközeli réteg modelljében – állandó turbulens áramok feltételezésével – az aktív felszín magassága (ahol a modellbeli széksebesség nullává válik) a kiszorítási rétegvastagság (d) feletti z0 magasság (d + z0).

A leggyakrabban használt lokális lezárási módszer a K-elmélet, ami a molekuláris viszkozitás analógiáján alapul. A turbulens áram arányos a turbulens diffúziós együtthatóval és az adott tulajdonság gradiensével:

.

(I.57.)

A turbulens diffúziós együttható meghatározására több módszer ismert. Dolgozhatunk a hasonlósági elmélet feltételezésével (I.48.–I.55.) amikor Ks értéke a stabilitástól függő univerzális függvények értékétől függ:

.

(I.58.)

Használhatjuk az ún. keveredési út hipotézist is:

,

(I.59.)

ahol az adott tulajdonságra jellemző keveredési út, ami függ a légköri stabilitástól a felszín feletti magasságtól és az adott kicserélődő mennyiségtől (tulajdonságtól). Neutrális esetben a felszínközeli rétegben a keveredési út arányos a felszín feletti magassággal, míg felette a keveredési rétegben általában a Blackadar-féle parametrizáció alapján

,

(I.60.)

ami a magasság növekedésével egy állandó értékhez () tart.

A nem-lokális keveredés a labilis nappali határréteg sajátja. Ennek megértéséhez tekintsük az s tulajdonság időbeli változására vonatkozó prognosztikai egyenletrendszert, ami a következő mátrix-egyenlet formájában írható föl:

,

(I.61.)

ahol , az adott tulajdonság értéke a  j-edik és a k-adik rétegben, a j és k réteg közötti keveredést leíró tag; a keveredési mátrix jk-adik eleme (Weidinger és Bordás, 2007). A konvektív határréteget jmax rétegre bontva ()-es keveredési mátrixot kapunk. A transilient elmélet alkalmazásának fő akadálya, hogy a mátrix minden eleme nullától különböző, s nem tudjuk egzakt módon, elméleti alapon megadni azokat. E mellett eltörpül az a tény, hogy az egyenletrendszer numerikus megoldása jelentős számítógép kapacitást igényel.

I.14. ábra. A Blackadar-féle (a) és az aszimmetrikus (b) konvektív keveredési modell (ACM). A nyilak vastagsága arányos a keveredési hányaddal (Pleim és Chang, 1992).

Mezoskálájú modellekben (pl. MM5, lásd Ács et al., 2006) elterjedten alkalmazzák a Blackadar (1979) által kifejlesztett nem lokális keveredési modellt (I.14.a. ábra). A modell lényege, hogy a talajközeli rétegben különböző méretű, és élettartamú – különböző magasságokig emelkedő – örvények, illetve termikek jelenlétét feltételezi. A fel- és leáramlás szimmetrikusan zajlik, a konvektív feláramlások (csóvák) biztosítják a passzív szennyeződés keveredését (szállítását) a talajközeli réteg és a konvektív határréteg különböző alrétegei között. Ez a modell nem engedélyezi a keveredést a szomszédos rétegek között – kivéve a talajközeli és a felette levő cellát. Így a Blackadar-féle modell hátránya, hogy pontatlanul írja le a nem talajközeli rétegben található forrásokból (2, 3, …, jmax réteg) származó passzív szennyezőanyagok keveredését. Ezért nem alkalmazható terjedési modellekben.

Az aszimmetrikus konvektív keveredési modell (Asymmetric Convective Mixing ACM, Pleim és Chang, 1992) a vertikális aszimmetriára épül (I.14.b. ábra). E modell-közelítés létjogosultságát a konvektív határréteg nagy örvény modelljei (LES) is igazolták már az 1980-as éveiben (Wingaard és Brost, 1984).

A számítások azt is megmutatták, hogy a Rayleigh-Bernard konvekcióval ellentétben, a konvektív PHR-t a gyors, de kis területekre kiterjedő feláramlás (termikek) és a nyomási mező kormányozta, nagy területre kiterjedő lassú leáramlás jellemzi (I.15.b. ábra), tehát a turbulens szállítási folyamatok aszimmetrikusak. Az ACM modellben a Blackadar-féle modellel ellentétben a leáramlás lokális jelegű, ülepedés-szerű; kaszkád formájában írható le.

I.1. táblázat. Passzív szennyezőanyag turbulens keveredésének szimmetrikus és aszimmetrikus modellje, a koncentráció-profil időbeli változását leíró egyenletek alakja az egyes (1, 2, ...,  j, ...,  jmax) szinteken.

Blackadar-féle modell

ACM modell

j = 1

j

j = jmax

A Blackadar-féle és az ACM modell prognosztikai egyenletrendszerét az I.1. táblázat tartalmazza, ahol j az adott vertikális szint száma, qj a passzív szennyezőanyag koncentrációja, a j-edik szint helyzete a modell vertikális () koordináta-rendszerében, a rétegvastagság , a vertikális föláramlási arány, míg az ACM modell j-edik szintjére vonatkozó vertikális leáramlási arány:

.

(I.62.)

A gyakorlatban a lokális és a nemlokális sémák együttes alkalmazásával várhatunk jó eredményt a határrétegben lejátszódó konvektív folyamatok leírásában.

I.2.4.3. Másfeles (1,5) rendű lezárások

  Mind a légköri modellekben, mind a numerikus megoldókban elterjedten alkalmazzák ezt a lezárási módot. A második momentumokra felírt egyenletek közül általában a turbulens kinetikus energiaegyenletet és az energiadisszipációs egyenletet (I.44. és I.46.) oldják meg.

  Abban az esetben, ha a turbulens kinetikus energia-egyenletben az energiadisszipációt (ε) parametrizáljuk, akkor elég ezzel az egy egyenlettel kiegészíteni az átlagokra felírt egyenletrendszert. (Erre alapvetően a planetáris határrétegnek a mérnöki alkalmazásokhoz viszonyított egyszerű geometriája miatt van szükség.) Ekkor a turbulens diffúziós együtthatót a keveredési út (l) és a turbulens kinetikus energia négyzetgyökével (b) modellezzük (Kolmogorov-féle parametrizáció):

,

(I.63.)

ahol számítási állandó.

  Általában együtt oldják meg a turbulens kinetikus energiára (ezt b2 mellett gyakran jelölik k-val, illetve E-vel is) és az energia disszipáció (ε) időbeli változására vonatkozó egyenletet. Ez az ún. k-ε lezárás (Richards és Hoxey, 1993; Lohász és Régert, 2010; Davidson, 2011). Gyakran találkozunk vele mind a mezoskálájú meteorológiai modellekben, mind az áramlástani megoldókban. Itt a turbulens örvények skálaparamétere:

.

(I.64.)

Áramlástani megoldókban alkalmazzák a k-ω lezárási hipotézist is, ahol ω a specifikus disszipáció (vagy a turbulencia frekvenciája):

.

(I.65.)

Így a turbulens kinetikus energia egyenlet mellett a másik egyenlet ω időbeli változását adja meg. Ennek az áramlástani megoldókban a falmelletti áramlás (falfüggvények) pontos megadásában van jelentősége, amikor k és ε is nullához tart.

A légköri modellekben ezt a problémát megkerüljük, hiszen itt a felszín közeli rétegben a turbulens áramok állandóságával számolunk. Ennek ára, hogy a modellbeli szélprofil nem a felszínen, hanem ahogy korábban már említettük a z0 érdességi magasság szintjén, illetve komplex felszínek esetén a kiszorítási rétegvastagsággal (d) megemelt szinten (z0 + d) válik nullává.