2. fejezet - Lineáris algebra összefoglaló

Tartalom

2.1. Mátrixok és vektorok
2.2. Amátrix rangja
2.3. Sajátérték, sajátvektor, karakterisztikus egyenlet
2.4. Az általánosított inverz
2.5. Mátrixok SVD felbontása

Ebben a fejezetben a mátrixokkal kapcsolatos – az inverzióelmélet megértéséhez szükséges – ismereteket tekintjük át. A mátrixokkal kapcsolatos alapvető műveleteket ismertnek tételezzük fel. Ilyen műveletek például: mátrixok összeadása, szorzása, mátrix szorzása vektorral, egységmátrix fogalma stb.

2.1. Mátrixok és vektorok

A vizsgálataink során N×M méretű, valós számokból álló mátrixokkal foglalkozunk, ahol N a sorok, M pedig az oszlopok száma. Eszerint egy N×M méretű A mátrix:

(2.1)

Egy A mátrix elemei Aij valós számok (az első index a sorok, a második az oszlop számát jelenti.) 

Egy mátrix sorát sorvektornak, egy oszlopát oszlopvektornak tekintjük. Amennyiben egy mátrix oszlopainak és sorainak a száma megegyezik, a mátrixot négyzetes mátrixnak nevezzük ().

Egy N×M méretű mátrix A mátrix transzponáltján azt a M×N méretű mátrixot    értjük, amit úgy kapunk, hogy a mátrixot a főátlójára tükrözzük. Jele AT. Ha egy mátrix megegyezik a transzponáltjával akkor szimmetrikus, (A = AT), ha a transzponáltja mínusz egyszeresével, akkor antiszimmetrikus (A = - AT). (Ekkor a mátrix oszlopainak és sorainak száma megegyezik: M = N.)

A jegyzetben egy vektort általában oszlopvektornak gondolunk. Ezt úgy is értelmezhetjük, mint egy N×1 méretű mátrixot, és kiterjeszthetjük rá a mátrixok szorzására bevezetett műveletünket. Ennek segítségével egy mátrix és egy vektor szorzata az alábbi vektort jelenti: , aminek elemeit az alábbi formulával kapjuk: (az eredmény szintén egy oszlopvektor!)

Egy mátrix előállítható két vektor diadikus szorzataként. Tekintsünk egy oszlopvektort és oszlopvektort. Képezzük y-ból transzponálással az yT sorvektort. Ekkor egy C mátrix előállítható (a szorzás művelet érvényben tartásával):

 ahol a C mátrix mérete: M × N (a mátrix elemei: ).

Egy  mátrix ortogonális, ha , vagyis az egységmátrix. Ebben az esetben az oszlopvektorok merőlegesek egymásra, és a normájuk egységnyi. (A merőlegesség a skaláris szorzat segítségével definiálható: két, nem nulla hosszúságú vektor merőleges egymásra, ha a skaláris szorzatuk nulla. A vektor normáján itt a hosszát értjük.)  Az ortogonális mátrixok forgatást valósítanak meg, a transzformált vektor hossza (normája) nem változik meg.