2.2. Amátrix rangja

Tegyük fel, hogy van N darab vektorunk (x1, x2,…, xN) amelyeknek azonos a dimenziója (de a dimenzió nem kell pontosan N legyen!), és vizsgáljuk meg, hogy ezek lineárkombinációja milyen együtthatók mellett adja ki a null-vektort. Ha a

fennáll úgy, hogy legalább egy együttható nem nulla, akkor a vektoraink lineárisan összefüggőek. Amennyiben az egyenlőség csak akkor áll fenn, ha az összes együttható zérus, akkor a vektoraink lineárisan függetlenek. Egy vektortér dimenziója megegyezik a lineárisan független vektorok számával, amelyek lineárkombinációjaként a vektortér bármely eleme előállítható. Ezek a vektorok bázist alkotnak. 

Egy vektortér altere az a nem üres részhalmaz, amire igaz hogy:

Egy  mátrix oszlopvektorai tehát egy alterét feszítik ki. Ennek az altérnek a dimenzióját az adja, hogy ezek közül hány vektor lineárisan független. Az oszlopvektorok által kifeszített alteret R(A)-val jelöljük, dimenziója pedig a mátrix rangja.

Példaként tekintsük az  mátrixot. Ennek a két oszlopvektora nem lineárisan független, emiatt csak egyetlen lineárisan független vektor van, emiatt a dimenziója, vagyis a mátrix rangja 1.

Az A mátrixhoz kapcsolódó másik alapvető alteret azok a vektorok alkotják, melyek kielégítik az homogén egyenletet. Ezt nevezzük a mátrix null-terének.

Például az előbbi A mátrixhoz az x = (-2, 1) vektor és annak többszöröse a mátrix null-terét alkotja.

A mátrixok rangjának központi szerepe van az inverzióelméletben szereplő egyenletek megoldhatóságának vizsgálatában. A mátrixok rangjának egy másik definíciójának bevezetéséhez fel fogjuk használni a négyzetes mátrixokhoz definiált determináns fogalmát. Bizonyítás nélkül közöljük az N×N-es mátrix determinánsának kiszámoló képletét, ami:

(2.2)

ahol az összegzés az (1, 2, ..., N) összes permutációjára történik, és I(i1, i2, …, iN) jelöli az (i1, i2, …, iN) permutációban lévő inverziók számát. Egy N×N-es mátrix egyik eleméhez tartozó (N-1)-ed rendű aldeterminánsa, a mátrixból az adott elem oszlopában és sorában levő elemek elhagyásával kapott (N-1)×(N-1)-es mátrix determinánsa.

A mátrix rangjára vonatkozó második definíció szerint a mátrix rangja k, ha k-ad rendű a mátrix legnagyobb el nem tűnő (nem nulla értékű) aldeterminánsa.