2.3. Sajátérték, sajátvektor, karakterisztikus egyenlet

A mátrixok lineáris operátorok reprezentációi, amik általánosságban a vektorok mátrixokkal történő szorzása során egy vektort egy másik vektorrá transzformálnak.

A transzformálás (a mátrixszal való szorzás) során az eredményként létrejövő vektor iránya eltér a kiinduló vektorétól. Találhatók azonban olyan vektorok, amiknek a mátrixszal való szorzás után nem változik az irányuk, ezek a sajátvektorok.

A fenti megfogalmazás a sajátvektorokra az alábbi egyenlettel fejezhető ki:

(2.3)

Ahol s a sajátvektor, λ pedig a sajátérték.

Az egyenlet átrendezésével kapjuk a karakterisztikus (vagy szekuláris) egyenletet:

(2.4)

Ahol I az egységmátrix. Ez az egyenletrendszer csak akkor oldható meg, ha az egyenletben szereplő determináns értéke nulla. Ha az A mátrix N×N-es, akkor az egyenlet, tulajdonképpen λ-nak egy N-ed fokú polinomja: , amelynek N darab gyöke van.

Definiálnunk kell még a minimálpolinomot: Ez a legalacsonyabb fokszámú olyan polinom, amelybe az A mátrixot behelyettesítve 0-t kapunk. A minimálpolinom gyökei megegyeznek a karakterisztikus polinom gyökeivel, legfeljebb multiplicitásuk különböző. (A karakterisztikus polinomban többszörös gyökként jelennek meg.) A minimálpolinom általában megegyezik a karakterisztikus polinommal. 

Ha minimálpolinom gyökei egyszeresek, akkor a mátrix diagonizálható. Egy mátrix diagonizáltja:

 

(2.5)

Ahol , vagyis U oszlopai a baloldali, V sorai pedig a jobboldali sajátvektorok.

Az A mátrix fenti formában történő előállítását spektrálfelbontásnak nevezzük.

A sajátvektorok biortonormált rendszert alkotnak. (Normáltak, vagyis az egységvektorok normája egységnyi. Ortonormáltak, vagyis két, nem ugyanahhoz a sajátértékhez tartozó egységvektor skaláris szorzata nulla.) A biortonormáltság definíciója szerint a skaláris szorzataikra:

ahol δ a Kronecker féle szimbólum.

A polinom gyökeinek vizsgálata nélkül is megállapíthatjuk, hogy ha egy mátrix felcserélhető az adjungáltjával, akkor az diagonizálható. (A mátrix adjungáltja, a mátrix előjeles aldeterminánsaiból képzett mátrix transzponáltja.) Ilyenek a szimmetrikus mátrixok. (Az inverzió során sokszor ilyen mátrixok szerepelnek.) Ezeknek a mátrixoknak a jobb és baloldali sajátvektorai megegyeznek: V = U, ahol U unitér mátrix, amelynek inverze megegyezik a transzponáltjával.

Ezen tételek segítségével megfogalmazható a mátrix rangjára egy harmadik definíció is: a mátrix rangja a 0-tól különböző λi sajátértékek száma.