2.4. Az általánosított inverz

Az inverzió alkalmazása során – számos esetben – lineáris egyenletrendszereket oldunk meg, amelyek általános alakban így néznek ki:

(2.6)

ennek megoldása:

(2.7)

ahol A-1 a mátrix inverze. Egy mátrix inverzét az alábbi egyenlet definiálja:

,

(2.8)

vagyis egy mátrix inverzének saját magával vett szorzata az egységmátrix.

A mátrixszorzás nem kommutatív művelet, vagyis ha egy mátrixot balról vagy jobbról szorzunk meg egy mátrixszal nem ugyanazt az eredményt kapjuk. Emiatt definiálható bal oldali inverz és jobb oldali inverz.

  1. Egy  es mátrix általános inverze az  mátrix, amire igaz, hogy:

(2.9)

  1. Az mátrixnak több általánosított inverze létezik, ezek egy csoportját alkotják a reflexív általános inverzek, amikre érvényes a fenti definíció mellett, hogy:

(2.10)

  1. Az általános inverzek további tulajdonsággal is rendelkezhetnek:

   

(2.11)

vagyis hogy a szorzat Hermitikus legyen Ez akkor teljesül, ha a zárójeles kifejezésben a szorzatmátrix komplex konjugáltja megegyezzen a szorzatmátrix transzponáltjával. Az ilyen típusú mátrixok sajátértékei valósak. Az inverzióelméletben valós elemű, általában szimmetrikus mátrixok szerepelnek, amelyekre ez a feltétel teljesül. Az ennek a feltételnek megfelelő mátrixokat balról gyengén általánosított inverzeknek nevezik.

  1. Emellé definiálható a jobbról gyengén általánosított inverz:

(2.12)

Egy mátrixhoz található olyan mátrix, amelyik a fenti négy feltételnek együttesen megfelel. Ez a mátrix egyértelmű, és Moore-Penrose féle pszeudoinverznek nevezzük. Jelölése: .

A pszeudoinverz mátrixot a Láncos-felbontás (szinguláris érték dekompozíció, Singular Value Decomposition) felhasználásával valósíthatjuk meg.