2.5. Mátrixok SVD felbontása

A felbontás alaptétele, hogy bármilyen  mátrix felírható az alábbi alakban:

(2.13)

ahol az U mátrix N×N-es, és oszlopvektorai az AT·A sajátvektorai, a V mátrix M×M-es és sajátvektorai az A·AT mátrix sajátvektoraival egyeznek meg. A Σ mátrix (N×M-es), főátlójában a AT·A sajátértékeinek pozitív négyzetgyökei – az ún. szinguláris értékek – állnak. A többi elem nulla.

 Az sajátértékei megegyeznek nem nulla sajátértékeivel. A nem nulla sajátértékek száma megegyezik az A mátrix rangjával.

Az A mátrixból konstruáljunk egy S mátrixot az alábbi módon:

(2.14)

Az S mátrix mérete: (N+M)×(N+M). Az S mátrix szimmetrikus, így sajátértékei valósak. A sajátértékek legyenek σi, a hozzájuk tartozó sajátvektorok wi.

A sajátértékekre vonatkozó egyenlet:

(2.15)

Az (N+M) elemű sajátvektort osszuk két részre: egy N elemű u és egy M elemű v vektorra.

Ekkor a sajátértékekre vonatkozó egyenlet:

(2.16)

Ami a hipermátrixban szereplő nullmátrixok miatt, az alábbi két egyenletre esik szét:

(2.17-2.18)

(A második egyenletet átírhatjuk  formába, amit később még felhasználunk.)

Az ebben a két egyenletben szereplő vektorok tehát a sajátvektor σi –szeresei. Ezt a vektort beírva a sajátérték egyenletbe, kapjuk hogy:

(2.19)

Vagyis:

(2.20 -2.21)

Az ui vektorok tehát az A·AT mátrix sajátvektorai, az vi vektorok viszont az AT·A mátrix sajátvektorai. A σi –sajátértékek így mindkét mátrixhoz megegyeznek.

Az ui vektorokból, mint oszlopvektorokból alkotott U és az vi vektorokból alkotott V mátrixok ortogonális négyzetmátrixok, amikre fennáll, hogy:

 

(2.22)

és

(2.23)

  A V mátrix ortogonalitása miatt a korábban kiszámolt  egyenlet (2.18) a

(2.24)

Alakban írható fel.

Ha az A mátrix rangja r, akkor a felbontás így is felírható:

(2.25)

Ahol Ur és Vr mátrixok az U és V mátrixok első r oszlopát tartalmazzák, és a Σr pedig egy r×r méretű, a nullától különböző szinguláris értékeket tartalmazó diagonális négyzetmátrix.

Az általánosított inverz tehát a Lánczos-féle felbontás alkalmazásával:

(2.26)

Ahol a Σ-1 főátlójában az 1/σi szinguláris értékek reciprokai szerepelnek (σi≠0 esetekben).

Vizsgáljuk meg, hogy az SVD eljárással nyert inverzet alkalmazva, visszakapjuk-e az inverzmátrix (2.8) egyenlettel adott definíciójában szereplő egyenlőséget, vagyis az inverz mátrix és az eredeti mátrix szorzata az egységmátrixot eredményezi!

(2.27)

Ez a kifejezés csak akkor ad egységmátrixot, ha a . Ezt a gyakorlatban ellenőrizve azt kapjuk, hogy M N esetben, (amikor a mátrix oszlopainak száma nagyobb vagy egyenlő az sorok  számánál), akkor A-g jobboldali inverze A-nak, ha N M akkor a baloldali inverze. A A-g csak akkor kétoldali inverze A-nak, ha N = M = r. Ekkor visszakaptuk a négyzetes mátrixokra érvényes inverz definíciójában szereplő mátrixot. 

Ha az A mátrix felbontásában szerepelnek 0 szinguláris értékek, akkor az inverzet így definiálhatjuk:

(2.28)

Ekkor Σ egy diagonális négyzetmátrix, amellyel fennáll a két egyenlőség:

(2.29 -2.30)

Az első egyenlet akkor egyenlő az egységmátrixszal, ha M = r, a második egyenlet pedig ha N = m.