3. fejezet - A valószűnűségszámítás alapjai

Tartalom

3.1. A valószínűség
3.2. Valószínűségi változók eloszlásfüggvénye és sűrűségfüggvénye
3.3. A valószínűségi változók jellemzői
A várható érték
A medián
A szórás
Momentumok és centrális momentumok
Két vagy több változó együttes eloszlását jellemző mennyiségek
3.4. Nevezetes eloszlások
Egyenletes eloszlás
Laplace (kétoldali exponenciális) eloszlás
Normális eloszlás
Többdimenziós (többváltozós) normális eloszlás
χ2 eloszlás
Student eloszlás
3.5. Határértéktételek, nagy számok törvényei
A centrális határeloszlás tétele.
Előírt pontosságú közelítéshez szükséges kísérletszám meghatározása
3.6. Statisztikai sokaság
A statisztikai becslések
Konfidencia intervallumok
3.7. Maximum likelihood elv
3.8. Valószínűségi változók függvényének eloszlását jellemző mennyiségek

A környezetünkről alkotott kép pontosításához méréseket végzünk. A méréseinkkel kapcsolatos számos tapasztalatot és jelenséget értelmezni tudunk a valószínűségszámítás és a matematikai statisztika segítségével. Tekintsük át röviden a valószínűségszámítás alapjait!

3.1. A valószínűség

A valószínűségszámítás véletlen tömegjelenségekkel foglalkozik. Elvileg eszerint egy mérés (kísérlet) végtelen sokszor elvégezhető.

Egy kísérletnek – mérésnek – több kimenetele lehetséges. Egy adott kimenet elemi eseménynek nevezzük, és ω-val jelöljük. Az elemi események összessége az Ω eseménytér. Az eseménytér valamely részhalmazát összetett eseménynek nevezzük, és a latin abc betűivel (A,B,…) jelöljük.

Tegyük fel, hogy n-szer elvégezve a kísérletet kA-szor következik be A esemény. Ekkor a kA/n hányadost az A esemény relatív gyakoriságának nevezzük. Többször is megismételve a kísérletsorozatot, mindig n-szer elvégezve a kísérletet, azt tapasztaljuk, hogy a  kapott kA/n hányadosok egy elméleti érték körül ingadoznak. Ezt az értéket P(A)-val jelöljük, és az A esemény valószínűségének nevezzük.

A valószínűségekre fennáll:

(3.1)

Egy A esemény valószínűsége nulla, ha az esemény soha nem következik be, és 1 ha biztosan bekövetkezik.

Tekintsünk az A és B eseményeket. (Ezek az elemi események egy-egy részhalmazai.)

A két esemény összegén (A+B) azt értjük, hogy legalább az egyik bekövetkezik. Két esemény szorzata (A·B) azt jelenti, hogy mindkettő bekövetkezik. Egy A esemény B (nem nulla valószínűségű) eseményre vonatkozó feltételes valószínűségét úgy értelmezzük, hogy annak a valószínűsége, hogy A esemény bekövetkezik, ha B esemény bekövetkezett. Ennek értéke kiszámítható az A·B és a B esemény valószínűségéből:

(3.2)

A feltételes valószínűségre igazak a következők, hogy a feltételes valószínűség is a [0,1] zárt intervallumon vehet fel értékeket, és egy esemény saját magára vett feltételes valószínűsége egységnyi: .

Egy véges vagy megszámlálható {An} (n=1,2,…) eseményekből álló eseményrendszert teljesnek nevezzük, ha i ≠ j esetén (vagyis az események diszjunktak) és az Anesemények közül pontosan egy biztosan (1 valószínűséggel) bekövetkezik. (A kapcsos zárójel a „halmaz” jele.)

(3.3)

(Vagyis a teljes eseményrendszer összetett eseményeinek összegének valószínűsége megegyezik az események valószínűségének összegével.)

Az Ω eseménytéren (az elemi események halmazán) értelmezett bármely függvényt valószínűségi változónak nevezzük. A méréseinket is úgy tekinthetjük, mint egy valószínűségi változót, vagyis egy elemi esemény realizációját, függvényét, amit a görög abc kisbetűjével jelölünk.

 ahol

(3.4)

Célszerűségi okokból több mérést együtt kezelhetünk, ekkor a méréseinket egy valószínűségi vektorváltozó elemeinek tekintjük:

A valószínűségi vektorváltozót nevezik többdimenziós valószínűségi változónak is.

A valószínűségi változó lehet folytonos vagy diszkrét. Egy távolságmérés eredményét tekinthetjük folytonos változónak, bár egy mérőszalagot mm-es pontossággal tudunk leolvasni.