3.2. Valószínűségi változók eloszlásfüggvénye és sűrűségfüggvénye

Definiáljuk egy valószínűségi változó eloszlásfüggvényét!

Valamely ξ valószínűségi változó F(x) eloszlásfüggvény az (ξ < x) esemény valószínűségét leíró függvényt értjük:

(3.5)

A valószínűségi változókról és a relatív gyakoriságról mondottak alapján, ha egy mérést n-szer elvégzünk, akkor közelítőleg esetben fogunk x-nél kisebb, és esetben x-nél nagyobb értéket mérni.

A későbbiekben meg fogunk vizsgálni néhány fontos eloszlásfüggvényt. Ezek az eloszlásfüggvények matematikailag jól kezelhető függvények, és – később bemutatott módon – kapcsolatba hozhatók a méréseinkkel. Ezeket eloszlásnak nevezzük, (pl. egyenletes-, normális-, log-normális-eloszlás).

Az eloszlásfüggvény tulajdonságai:

Az F eloszlásfüggvény értéke mindig 0 és 1 zárt intervallumba esik:

Az F eloszlásfüggvény monoton nem csökkenő: esentén

Az eloszlásfüggvényre mindig teljesül: és

Ha a ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye F, akkor annak valószínűsége, hogy ξ a (c,d) intervallumba esik:

Ha az F függvény az helyen folytonos, akkor annak valószínűsége, hogy , éppen:

Diszkrét valószínűségi változók esetén az F függvény szakaszonként konstans függvény.

Folytonos valószínűségi változó sűrűségfüggvényét az alábbi módon definiáljuk:

Ha egy valószínűségi változóhoz tartozó F eloszlásfüggvény valamely intervallumban differenciálható, akkor ebben az intervallumban a sűrűségfüggvény az eloszlásfüggvény deriváltja, vagyis:

(3.6)

A fenti definícióból adódik:

(3.7)

A sűrűségfüggvény tulajdonságai:

Definiálhatjuk egy ξ valószínűségi változó A eseményre vonatkozó feltételes valószínűségét leíró feltételes eloszlásfüggvényen az x változónak az alábbi függvényét értjük: feltéve hogy .

Ha az függvény x szerint differenciálható, akkor az  függvény a ξ változó A eseményre vonatkoztatott feltételes sűrűség függvénye.

Folytonos eloszlás esetén, eléggé kis Δx-et választva kapjuk, hogy:

(3.8)

Készítsünk egy diagramot, amely a sűrűségfüggvény empirikus közelítésére szolgál. Ehhez a diagram vízszintes tengelyén osszuk fel a ξ valószínűségi változó által felvehető értékek tartományát Δx intervallumokra. Végezzük el n-szer a kísérletet, és jegyezzük fel a kísérletek eredményeit. Jelölje kx azoknak a kísérleteknek a számát, amikre x-nél kisebb eredmény született. Az (x,x+Δx) intervallum fölé rajzoljunk fel a magasságú téglaalapot. Ez a mennyiség a relatív gyakoriság osztva Δx-szel. Ezt a diagramot hisztogramnak nevezzük.

A ξ valószínűségi vektorváltozó eloszlásfüggvénye a

(3.9)

függvény, amely részletesen kiírva:

(3.10)

A ξ1,ξ2,…,ξn valószínűségi vektorváltozó elemek közül kiválasztott m < n számú valószínűségi változó együttes eloszlását m-dimenziós peremeloszlásnak nevezzük. A peremeloszlás az eredeti eloszlásfüggvényből úgy kapható meg, hogy a kiválasztottak között nem szereplő n-m számú valószínűségi változó argumentuma helyére +∞ kerül. A peremeloszlásokat a feltételes valószínűségek felírásához használhatjuk fel.

Ha a ξ1,ξ2,…,ξn valószínűségi változók folytonosak, akkor értelmezhető az valószínűségi vektorváltozó sűrűségfüggvénye az alábbi módon:

(3.11)