3.4. Nevezetes eloszlások

Nagyon sokféle eloszlás létezik, ezek közül csak néhány – az inverzióelmélet szempontjából  ̶  kiemelkedően fontos eloszlást mutatunk be.

Egyenletes eloszlás

Egy (a,b) intervallumon egyenletes eloszlás eloszlásfüggvénye:

(3.25)

sűrűségfüggvénye pedig

 

(3.26)

Várható értéke , szórása

Laplace (kétoldali exponenciális) eloszlás

A földtudományokban gyakran alkalmazott eloszlás, mert gyorsabban cseng le, mint a normális eloszlás. A standard alak sűrűségfüggvénye a következő:

(3.27)

Az általános alak:

(3.28)

Ahol a az eloszlás skála paramétere és a helyparaméter. Az eloszlás várható értéke a szórása pedig .

Normális eloszlás

A normális eloszlás a valószínűségszámításban és statisztikában központi jelentőségű.

Egy ξ valószínűségi változó normális eloszlású, ha eloszlásfüggvénye a következő:

(3.29)

Az egyváltozós normális eloszlást szokásos jelölése N(a,σ), ahol a az eloszlás várható értéke, σ pedig a szórása. Az eloszlást a várható érték és a szórás egyértelműen megadja. A normális eloszlás másik neve Gauss eloszlás.

A normális eloszlás sűrűségfüggvénye az eloszlásfüggvény deriváltja:

(3.30)

Az N(a,σ) eloszlás sűrűségfüggvényének képe a haranggörbe (Gauss-görbe). A haranggörbe szimmetriatengelye az a várható értékhez esik, és alakját a σ szórás adja meg. A görbe inflexiós pontja σ távolságra van a görbe tengelyétől.

A normális eloszlású ξ valószínűségi változó standardizáltja a

(3.31)

Valószínűségi változó, amelynek várható értéke 0, és szórása 1. Ennek eloszlás- és sűrűségfüggvénye:

(3.32 -3.33)

Többdimenziós (többváltozós) normális eloszlás

A ξ*=(ξ1, ξ2,… ξn) valószínűségi vektorváltozó együttes eloszlása akkor n-dimenziós normális eloszlás, ha folytonos, és sűrűségfüggvénye a következő alakú:

(3.34)

Ahol a=(a1, a2,,…,an) a várható értékek vektora, C pedig a (3.21) képlettel definiált kovariancia mátrix (detC ≠ 0). A C-1 jelölés a kovariancia-mátrix inverzét jelenti.

3.1. ábra. Kétváltozós normális eloszlás sűrűségfüggvénye

χ2 eloszlás

Legyenek (ξ1, ξ2,…, ξn) független normális eloszlású, 0 várható értékű és 1 szórású valószínűségi változók. Képezzük egy új valószínűségi változót az alábbi módon:

 

(3.35)

Ennak a valószínűségi változónak a sűrűségfüggvénye:

(3.36)

Ahol az ún. gammafüggvény:

(3.37)

Az összegzésben megjelenő n számot az eloszlás szabadsági fokának nevezzük. χ2 várható értéke n, szórásnégyzete pedig 2n.

Student eloszlás

Legyenek ξ1, ξ2,…, ξnfüggetlen, normális eloszlású, 0 várható értékű és 1 szórású valószínűségi változók, az η pedig egy 0 várható értékű, szórású normális eloszlású valószínűségi változó. Képezzük az alábbi valószínűségi változót:

(3.38)

A tx valószínűségi változót Student-törtnek nevezzük. Ennek sűrűségfüggvénye a

(3.39)

Várható értéke 0, szórása pedig: n/(n-2). (Itt n értékét ugyancsak szabadsági foknak nevezzük.) Ebből következik, hogy n = 1 és n = 2 esetben, bár a sűrűségfüggvény létezik, nem létezik szórás.