3.5. Határértéktételek, nagy számok törvényei

Az előző fejezetben szó volt arról, hogy ha egy kísérletet egymástól függetlenül elég sokszor elvégzünk, és egy A eseményt kiválasztunk, akkor a relatív gyakoriság stabilitást mutat. Ezt a tapasztalati adatokkal alátámasztott tényt a nagy számok törvényének nevezzük, és ez teszi lehetővé a valószínűségelmélet gyakorlati alkalmazását.

A valószínűsűgelmélet azonban a gyakorlattól függetlenül is létezik. Az eddig definiált fogalmakat felhasználva nagy számok törvényének nevezünk minden olyan tételt, ami a ξ1, ξ2,…, ξn valószínűségi változók számtani átlagaiból alkotott sorozat:

 

(3.40)

valamilyen konvergenciáját állítja adott feltételek mellett.

A centrális határeloszlás tétele.

A centrális (központi) határeloszlás tétele azt mondja ki, hogyha nagyszámú, független valószínűségi változót összeadunk, amelyeknek a szórásnégyzete véges, akkor összegük a normális eloszláshoz tart, függetlenül attól, hogy az egyes valószínűségi változók milyen eloszlásúak. (Szemléletes példa erre, több (-0,5 – 0,5) intervallumon egyenletes eloszlású valószínűségi változó összegéből képzett valószínűségi változó. Ennek sűrűségfüggvénye a Gauss görbéhez tart. Gauss ennek segítségével vezette le a normális eloszlás sűrűségfüggvényét.)

Vizsgáljuk most az ξ1, ξ2,… ξn valószínűségi változók összegéből alkotott sorozatot. Jegyezzük meg, hogy amennyiben a M(ξ1)≠0, akkor határeloszlást sem határozhatunk meg n→∞ esetén, mivel η egyre jobban elkenődik, azonban vegyük észre, hogy:

(3.41 -3.42)

Valamint tetszőleges véges (a,b) intervallumra igaz hogy:

(3.43)

Ha azonban ηn helyett ennek standardizáltját vizsgáljuk:

(3.44)

Ahol m=M(ξk) és σ= σ(ξk), k=1,2,… akkor erre bebizonyítható, hogy

(3.45)

Vagyis elég nagy n esetén tehát standard normális eloszlású (N(0,1)). Általában közelítően normális eloszlásúvá válik aránylag kis n esetén.

Itt jegyezzük meg, hogy véges szórású valószínűségi változók szorzatából képzett valószínűségi változó () eloszlása a log-normális eloszláshoz tart, amelynek eloszlásfüggvénye:

(3.46)

sűrűségfüggvénye:

, (x > 0)

(3.47)

ahol a a várható érték és σ a szórás.

Előírt pontosságú közelítéshez szükséges kísérletszám meghatározása

A centrális határeloszlás tétel segítségével kiszámolhatjuk, hogy hány mérés szükséges ahhoz, hogy ismert (vagy meghatározható) szórású eloszlásból származó valószínűségi változók átlaga legfeljebb (1-p0) valószínűséggel térjen el az eloszlás tényleges várható értékétől.

 Tekintsünk egy ξ1, ξ2, azonos eloszlású, véges szórású és független valószínűszínűségi változókból álló sorozatot. Jelölje m ezek közös várható értékét. A standardizáltjukra (3.31) a (3.45) egyenlet segítségével felírható:

(3.48)

Tehát elég nagy n esetén:

(3.49)

Ennek átrendezésével adódik:

(3.50)

Ha tehát előírt p0 esetén λ-t meghatározzuk oly módon, hogy , majd az előírt ε-hoz n értékét olyan nagyra választjuk, hogy , akkor azt kapjuk, hogy

(3.51)

Ehhez tehát n-nek ki kell elégítenie az alábbi feltételt:

(3.52)

 Az eredmény felhasználása során az előírt p0 valószínűséghez kiszámítjuk λ-t a fenti módon, majd az előírt ε pontosság és a változó σ szórása segítségével kiszámoljuk n-t a mérések minimális számát.