3.8. Valószínűségi változók függvényének eloszlását jellemző mennyiségek

Tekintsünk egyetlen mérést. Ezt a valószínűségelméleti bevezető alapján egy valószínűségi változó realizációjának tekinthetjük. Ebből a mérésből számoljunk ki egy minket érdeklő mennyiséget. Ez a mennyiség ugyancsak valószínűségi változó lesz. Eszerint a minket érdeklő mennyiség, egy valószínűségi változó függvénye.

Ahogy korábban láttuk, egy valószínűségi változót legteljesebb mértékben az eloszlásfüggvénye jellemez, de lehet, hogy minket csak valamely jellemzője, pl. várható értéke, vagy szórása érdekel.

A Gauss féle hibaterjedési törvény azt mondja ki, hogy amennyiben van egy ξ valószínűségi változónk, ami egy ismert eloszlásból származik (ismert az  sűrűségfüggvény), és adott a változó függvénye, amely monoton csökkenő vagy növekvő, de mindenképpen differenciálható, amelynek inverze: akkor az valószínűségi változó is folytonos eloszlású, amelynek a sűrűségfüggvénye:

(3.80)

A fenti tételt alkalmazzuk egy ξ standardizált normális eloszlású változózóra, amelynek sűrűségfüggvénye:

(3.81)

És határozzuk meg az  függvénnyel megadható valószínűségi változó sűrűségfüggvényét!

Ennek a függvénynek az inverz függvénye a következő:

 

(3.82)

(a négyzetgyököknek csak a pozitív értékét vesszük figyelembe a továbbiakban).

A h inverz függvény segítségével írjuk fel a sűrűségfüggvényt, mint az y változó függvényét!

(3.83)

A h inverz függvény deriváltjának az abszolút értéke:

(3.84)

A két függvény szorzata adja a keresett sűrűségfüggvényt:

(3.85)

Vizsgáljuk meg, hogy hogyan alakul valamely valószínűségi vektorváltozók függvényének a várható értéke! Ehhez válasszunk egy ξ=(ξ1, ξ2, …, ξN) valószínűségi vektorváltozót, amelynek tekintsük egy lineáris függvényét (transzformáltját):

(3.86)

Ahol az η ugyancsak valószínűségi vektorváltozó. Az A mátrix a lineáris transzformációt leíró mátrix. Az η vektorváltozó várható értékének képlete:

(3.87)

Ahol a a ξ vektorváltozó elemeinek várható értékeinek vektora.

Vizsgáljuk meg, hogy hogyan alakul valamely valószínűségi vektorváltozó függvényének a kovariancia mátrixa! Használjuk fel a kovarianciamátrix vektoros felírását!

(3.88)

Ha az A mátrix, egy olyan mátrix, amelyik a (2.5) képletben szerepelő U mátrixnak felel meg, akkor megkapjuk az ξ vektorváltozó kovarianciamátrixának spektrálfelbontását. Ezt az eredményünket a geofizikai inverz feladat megoldása után, a paraméterek becsült hibáinak (szórásának, kovarianciáinak és korrelációjának) a meghatározására fogjuk használni.