4. fejezet - A geofizikai inverzió általános megfogalmazása

A hétköznapi életben megszoktuk, hogy egy méréssel általában meg tudunk határozni egy minket érdeklő mennyiséget. Például a mérlegre állva megmérjük a testtömegünket, vagy egy mérőszalag segítségével az asztal szélességét.

A fizikában, a csillagászatban, a geofizikában és a távérzékelésben meg kell barátkoznunk a gondolattal, hogy a minket érdeklő mennyiségeket nem tudjuk közvetlenül megmérni!

Nézzünk néhány, a fenti állítást alátámasztó geofizikai példát! A minket érdeklő földtani környezet megismerése céljából végzett mérések lehetnek például:

Ezekben a mérésekben a közös, hogy a mérések eredményeként adatokat nyerünk. Az adataink különfélék: nehézségi gyorsulás értékek a szelvény menti hosszúság függvényében, mágneses indukció értékek egy rács pontjain, látszólagos fajlagos ellenállás értékek a szelvény menti hosszúság és az elektródatávolság függvényében, vagy a robbantás után egy időintervallumban a geofonokon a mért kitérések hullámképe.

Általában valamilyen módon vizualizálhatjuk ezeket az adatokat, és ez valamilyen előzetes képet ad a vizsgált terület geológiai- geofizikai viszonyairól. Egy eddig még nem kutatott terület első vizsgálata során a méréseinktől azt várjuk, hogy „lepjenek meg” minket, a mérési adatokban valami „szokatlan”, nem várt jelentkezzen. Ezt úgy foglalhatjuk össze, hogy a méréseinkben a háttér értékeitől (valamilyen rendezett formában) eltérő mennyiségeket mérjünk. Ilyen jelenség lehet, hogy

Általában nem elégszünk meg a mért értékekből előállított vizuális termékek szemlélésével, ugyanis minket számos alkalommal nem közvetlenül a mért értékek érdekelnek, hanem azok a hatók, amelyek valamilyen fizikai jelenség segítségével létrehozták a mérési adatokat. A hatók valamilyen geológia, földtani (esetenként ember alkotta, pl. régészeti) objektumok. A hatókat, mivel valamilyen fizikai teret befolyásolnak forrásoknak is nevezzük. Amennyiben nem teljesen ismeretlen területen mérünk, a kutatási területről meglevő előzetes (a priori) ismereteink lehetnek a hatókról. A fenti példáknál maradva:

Ezekről a minket érdeklő hatókról van valamilyen előzetes szemléletes képünk. Láttunk vár vetőt egy hegylábi területen, kipreparálódott vulkáni tömzsöt, recens folyómedret és eróziósan feltárt gyűrt rétegsort. Közelről szemlélve látjuk ezeknek a szerkezeteknek a bonyolultságát. Távolabbról szemlélve – a részletek elhagyásával – egyszerűsíthetjük ezekről a hatókról alkotott képünket, ezt az egyszerűsített képet nevezzük modellnek:

A modell, tehát valamilyen formában egyszerűsített képe a valóságnak. Az egyszerűsítés lehet geometriai jellegű, vagyis olyan geometriai forma, ami matematikailag jól kezelhető:

Alkalmazhatunk anyagi jellegű egyszerűsítéseket is: eltekintünk az inhomegenitásoktól, a sűrűség, a mágnesezettség, a fajlagos ellenállás és a szeizmikus sebességek helyfüggésétől, helyettük térrészenként homogén anyagi jellemzőket tételezünk fel. Nem vesszük figyelembe az elektromos ellenállás és a szeizmikus sebességek irányfüggését, így a közegmodellünk izotróp. (Bizonyos geofizikai feladatokban az anyagi jellemzők irányfüggőek, pl. vékony homok és agyagrétegek váltakozás esetén az egész rétegösszletre számolt fajlagos elektromos ellenállás függőleges irányban más, mint vízszintes irányban. Ilyen rétegösszletekre a rugalmas paraméterek és így a szeizmikus sebességek is irányfüggőek lehetnek. Az ilyen kőzettulajdonságot anizotrópiának nevezzük.)

A modellünkkel szemben elvárás, hogy segítségével meg tudjuk jósolni, a méréseink eredményeit. Például:

A fenti példákban, a mérési eredmények „jóslását” lehetővé tevő számolást direkt feladatnak nevezzük. (Megkülönböztetendő a később tárgyalt inverz feladattól.) A direkt feladat további nevei: elméleti (theoretikus) mennyiségek, szintetikus adatok (mivel mi számoltuk ki), modell tér (mivel a modell hozza létre, vagy befolyásolja a fizikai teret) illetve elméleti válaszfüggvény.

Ahhoz, hogy a direkt feladatot ki tudjuk számolni (vagyis olyan mennyiségeket kapjunk, amiket össze tudunk hasonlítani a méréseink eredményeivel) ismernünk kell a direkt feladat paramétereit. Paramétereknek nevezzük a modell jellemzőit, amik szerepelnek a direkt feladat egyenleteiben. (A paraméterek további nevei: ismeretlenek, együtthatók, a ható jellemzői.) A példánknál maradva:

A direkt feladatnak tehát a paraméterek (és a mérési pontok koordinátái) a változói, és visszaadott értékei azok a fizikai mennyiségek, amelyek a mérési eredményekkel közvetlenül összehasonlíthatók.

Általában a méréseink száma nagyobb, mint a direkt feladatban szereplő paraméterek száma. Tételezzük fel, hogy valamilyen forrásból tudjuk a paramétereink „jó” értékeit, és ezeket az értékeket behelyettesítve a direkt feladatba, a mérések helyén megkapjuk a direkt feladat segítségével az elméleti tér értékeinket. Ezek az értékek általában eltérnek a mért értékektől. Ezeket az eltéréseket összefoglalóan hibáknak nevezzük.

A hibák természetével kapcsolatban többféle feltételezéssel élünk, ezeket a „A valószűnűségszámítás alapjai” c. fejezetben részletesen tárgyaljuk.

Vizsgáljuk meg, hogy hogyan tudnánk a méréseinkből a direkt feladatban szereplő paramétereket maghatározni! Nagyon elegáns lenne, ha az egyes direkt feladatokban szereplő matematikai egyenleteket meg tudnánk fordítani (invertálni), majd ezeket az egyenleteket a mérési mennyiségekre alkalmaznánk és megkapnánk a paramétereket.

Ezt bizonyos esetekben meg is tudjuk tenni. Erre épül a lineáris inverzió elmélete, amit a „Lineáris inverzió” c. fejezetben tárgyalunk.

Sajnos a megoldás – a valódi geofizikai problémák esetén – nem ilyen egyszerű, ezért a matematikai statisztika eszközkészletéhez kell visszanyúlnunk („A valószűnűségszámítás alapjai” c. fejezet).

A matematikai statisztika problémafelvetése szerint valamilyen eloszlású statisztikai sokaságból származó valószínűségi változóból mintát veszünk, és ennek a mintának a segítségével becsüljük meg a statisztikai sokaság valamely jellemző paraméterét.

Ennek során a direkt feladatban szereplő modellparamétereket valószínűségi változóknak tekintjük. A direkt feladat megoldást a valószínűségi változók egy függvényének, a mérési eredményeket, pedig ennek a függő valószínűségi változó realizációjának, vagyis ebből a statisztikai sokaságból vett mintának tekintjük.

Eszerint a geofizikai inverzió, vagyis a modell paraméterek meghatározása a mérési adatokból, statisztikai értelemben véve becslésnek tekinthető. Emiatt az inverzióval szemben ugyanazokat a feltételeket támaszthatjuk, mint a statisztikai becslésekkel kapcsolatban: a torzítatlanságot és a hatásosságot.

A fenti modellekkel kapcsolatban összefoglalhatjuk, hogy modellnek nevezzük azt az elvi vagy anyagi objektumot, amelyik visszatükrözve a geofizikai kutatás tárgyát és módszereit, képes azt úgy helyettesíteni, hogy vizsgálata új információt nyújtson az objektumról. A modellek megalkotása és használata során az alábbi típusú egyszerűsítéseket alkalmazzuk:  

  1. Reális források ideális forrásokkal történő felcserélése

  2. Számításba nem vett ismeretlen források hatása

  3. Természeti törvények nem teljes és pontos ismerete

  4. A számítások során (tudatosan) megengedett közelítések