8. fejezet - A legkisebb négyzetek módszerének általános felírása

Tartalom

8.1. A legkisebb négyzetek módszer – alapfogalmak
8.2. Egyenes illesztése
8.3. A legkisebb négyzetek módszerében szereplő mennyiségek kovarianciamátrixai
8.4. Másodfokú függvény illesztése
8.5. Legkisebb négyzetes becslés eltérő súlyú mérések esetén
8.6. A mérések szórásának becslése a mérési anyagból

8.1. A legkisebb négyzetek módszer – alapfogalmak

A legkisebb négyzetek módszerét a geodéziában kiegyenlítő számításnak nevezik. Ismerkedjünk meg a kiegyenlítő számításokban alkalmazott fogalmakkal.

A méréseinket itt is valószínűségi változók realizációjának tekintjük. Jelentsék a mérendő mennyiségeket a ξ12,…,ξN valószínűségi változók, a minta elemeit (vagyis a tényleges mért értékeket) a L1,L2,…,LN valószínűségi változók. A mérések feldolgozásának célja a valószínűségi változók jellemzőinek, a várható értékének és a kovarianciamátrixának a meghatározása.

Ha egyetlen mennyiségre végzünk méréseket (például egy távolságot akarunk meghatározni a mérést többször elvégezve) akkor a ξi  változók várható értéke megegyezik az Li  mintaelemek várható értékével.

(8.1)

A várható értékek  becslése lesz a kiegyenlített mérési eredmény: Ui. A legkisebb négyzetek módszerének alapelve, hogy a kiegyenlített mérési eredmények és a mérési eredmények különbségeire, a

 

(8.2)

javításokra, fennálljon a következő összefüggés:

(8.3)

ahol a v a νi elemekből képzett vektor. (A „javítás” kifejezés értelmét, később tárgyaljuk.)

A PLL mátrix a súlymátrix. A súlymátrix – ahogy a statisztikus elméletben láttuk – az alábbi kapcsolatban van a mérések kovarianciamátrixával:

 

(8.4)

ahol a mennyiség az egységnyi súlyú mérés szórásnégyzete, amit a súlyegység középhibájának négyzetének is neveznek.

Amennyiben egyforma súlyú mérésekre akarjuk elvégezni a kiegyenlítést, akkor a PLL mátrix egy I egységmátrixszal helyettesíthető, amit behelyettesítve az alábbi egyszerűbb alakot kapjuk,

(8.5)

vagyis a kiegyenlítés során a v vektor elemeinek négyzetösszegét kell minimalizálni. A négyzetösszeg megegyezik a vektor saját magával vett skaláris szorzatával, ami formálisan a sorvektorként felírt, illetve egy oszlopvektorként felírt vektornak a mátrixok és vektorok szorzási szabályai szerint előállított szorzata: egy skalár szám. (A v vektort oszlopvektornak tekintve a transzponálás segítségével állítottunk elő belőle sorvektort.)

A legkisebb négyzetek módszerének alkalmazásakor a különböző feladatok megoldásakor felhasználunk nem mért mennyiségeket is. Ezeket a továbbiakban paramétereknek nevezzük. (Ez a megfogalmazás a geofizika inverzió szempontjából triviális, azonban tanulságos példát látunk majd arra, hogy a kiegyenlítő számítások során, csak mért mennyiségek közötti összefüggés segítségével is végezhetünk kiegyenlítést a mért mennyiségekre, amelyben nem szerepelnek paraméterek.)

A paramétereket Xj-vel jelölik. A j index 1,2,…,P értékeket vehet fel, ahol P a paraméterek száma. A paramétereket vektor formában is felírhatjuk: X. Általában a paramétereket is felhasználó kiegyenlítések során a paraméterek Xj0előzetes (kiinduló) értékéhez meghatározzák a paraméterekxjjavításait, amelyek összege adja a paramétervektor kiegyenlített értékét.

(8.6)

A kiegyenlítő számítások elméletében a direkt feladatot funkcionális modellnek, ennek tényleges alakját közvetítő egyenletnek nevezik.

A legegyszerűbb alakú közvetítő egyenletben (a mért mennyiségeink „jóslását” jelentő) elméleti függvényértékek a paraméterek lineáris függvényei. Ekkor a direkt feladat megoldása az X vektornak egy mátrixszal való szorzását jelenti:

(8.7)

Vizsgáljuk meg először az egyenletünk jobb oldalát. Az A mátrix a már korábban megismert alakmátrix. Az X vektor a paramétereink kiegyenlített értéke.

Az egyenlőség bal oldalán álló U vektor nem más, mint a méréseink kiegyenlített értéke. Ez az egyenlet azt fejezi ki, hogyha nem lenne semmilyen hiba (sem mérési, sem pedig modellhiba) akkor a méréseink a paramétereinkkel szigorú (algebrai) függvénykapcsolatban lennének. Rendezzük át az előbbi egyenletet, úgy, hogy a mért értékek és a javítások segítségével fejezzük ki kiegyenlített mérési eredményeket, a paraméterek előzetes értékének és a paraméterek javításának segítségével fejezzük ki paraméterek kiegyenlített értékeit:

(8.8)

Az a0 vektor a direkt feladat megoldása a paraméterek kiinduló értéke mellett.

Fejezzük ki a mérések javítását (a v vektort) a fenti egyenletből.

(8.9)

Ezt az egyenletet javítási egyenletnek nevezzük. Az elnevezés magyarázat az, hogyha a v vektor elemeivel „megjavítanánk” az L mérési adatokat (vagyis v-t hozzáadnánk L-hez), akkor a megjavított értékekre a modell (a megjavított paraméterekkel számolva) tökéletesen illeszkedne. A v vektor elemei a reziduálok, a vektor mérete N, vagyis megegyezik a mérések számával.

A fenti képletben szereplő l vektor a tisztatag vektor. Látszik, hogy elemei a mérések (L) és a direkt feladatnak a paraméterek kezdő értéke melletti megoldásának (a0) a különbsége.

A (8.3) képlettel megadott minimumfeltételbe már be tudjuk írni a javításvektor (8.9) képlettel megadott alakját. Az adott kifejezetésnek ott lesz minimuma (szélsőértéke), ahol az x vektor szerinti deriváltja nulla.

A minimumalizálandó függvény felírva a javítások szorzataként:

(8.10)

Ennek a mennyiségnek az x szerinti parciális deriváltja (amely csak az x-től függő tagokat tartalmazza) nulla, az elégséges feltétel a szélsőértékhez. A deriválást elvégezve, figyelembe véve, hogy a deriváltak összege nulla, és az egyenletet átrendezve kapjuk:

(8.11 -8.12)

A fenti formulával tehát ismét megkaptuk a normál egyenletet, amiből látszik, hogy az N normál mátrix megegyezik (egyenlő súlyú mérések esetén) az  mennyiséggel, ami az alakmátrix saját transzponáltjával vett szorzata, valamint az n vektor előállítható az alakmátrix transzponáltjának a tisztatag vektorral vett szorzataként (). A paraméterek javítása kifejezve a normálegyenlet (8.12) segítségével:

(8.13)