8.2. Egyenes illesztése

Vizsgáljuk meg ismét az előző fejezetben tárgyalt egyenes illesztést, de használjuk fel az előző alfejezetben bevezetett fogalmakat!

Az egyenes illesztése során x-y pontpárokra határozzuk meg a legjobban illeszkedő egyenes tengelymetszetét és meredekségét. Ugyanazon x-y pontpárokra megpróbálkozhatnánk akár magasabb fokszámú polinom illesztésével is. Az hogy egyenest illesztünk a mi döntésünk. (Döntésünket természetesen befolyásolják korábbi tapasztalataink és ismereteink.) Az hogy egyenest illesztünk ez a modellválasztás. Az egyenes lesz tehát a modell, az egyenes egyenlete a direkt feladat, és az egyenes egyenletében szereplő tengelymetszet és meredekség a modell paraméterei. A levezetés során az x értékeket mérési helyeknek, az y értékeket mért értékeknek tekintjük.

Definiáljuk most is a maradék hibát a (8.9) képlethez hasonlóan! Ekkor a maradék hibák (reziduálok):

(8.14)

Ezek a fenti egyenlőségek mátix-vektor formában is felírhatók:

(8.15)

Ez az előző fejezetben megismert javítási egyenlet. Az x vektor elemei a meghatározandó paraméterek javításai, esetünkben a0 és a1. (Sajnos a továbbiakban x nem koordinátákat, hanem a paraméterek vektorát jelenti.) A jelen esetben azzal a feltételezéssel élünk, hogy a paraméterek előzetes (kiinduló) értékei (X0 vektor elemei) nullák. Ekkor a paraméterek javítását tartalmazó x vektort a kiegyenlítéssel meghatározva, egyben a paraméterek kiegyenlített értékeinek X vektorát kapjuk (8.13) egyenlet!

Az l vektort a tisztatag. A tisztatag vektort úgy definiáltuk, hogy az a mért értékekből kivonva a kezdő paraméterekkel számított direkt feladat megoldást. Jelen esetben is ellenőrizhetjük a definíció helyességét az adott feladatra. A mért értékek az y értékek. A modell paraméterek előzetes értékeit nullának tekintettük (a0 = 0 és a1 = 0), így azokból az x mérési pontok sorozatára kiszámolva a direkt feladatot, nulla értékeket kapunk.  Ezeket a nulla értékeket kivonva az y mérési értékekből visszakapjuk az y értékeket, tehát az l vektor az y értékekből áll.)

Vizsgáljuk meg az A alakmátrix alakját!

(8.16)

Vegyük észre, hogy a mátrix egy-egy sorában a direkt feladatnak – az egyenes (7.3) képlettel adott egyenletének – a paraméterek javításai (estünkben a0 és a1) szerinti deriváltjai szerepelnek!

Általánosságban elmondhatjuk, hogy az alakmátrix a direkt feladatnak az egyes mérésekre vonatkozóan (a mátrix sorai) az egyes paraméterek szerinti (a mátrix oszlopai) deriváltjait tartalmazza. Mivel ez a mátrix, egy vektort visszaadó többváltozós függvénynek a paraméterek szerinti deriváltjaiból áll elő, a matematikai analízisből ismert néven, Jacobi-mátrixnak is nevezzük.

Szükségünk van még a mérések PLL súlymátrixára. A méréseinket egyforma súlyúnak tételezzük fel, így a súlymátrix egy egységmátrix, ekkor a paraméterek javításának x vektorára az alábbi egyenletet írhatjuk fel:

(8.17)

amelyből az x vektort az alábbi egyenlet megoldásával kapjuk:

(8.18)