8.3. A legkisebb négyzetek módszerében szereplő mennyiségek kovarianciamátrixai

A legkisebb négyzetek módszer nem csak a kiegyenlítésben szereplő mennyiségek várható értékeinek, hanem ezeknek a mennyiségeknek a kovarianciamátrixának a meghatározására is felhasználhatók.

A kiegyenlítésben szereplő mennyiségek: X a paraméterek kiegyenlített mennyiségei, U, a mérések kiegyenlített mennyiségei, v a javítások, és L a mérések. Ezeknek a mennyiségeknek a kovariancia mátrixát általánosságban a

, ahol

(8.19)

képlettel adhatjuk meg. A QYY mátrixot általánosságban súlykoefficiens mátrixnak nevezzük.

A mennyiség becslésre az egység súlyú mérés szórásnégyzetét használjuk:

(8.20)

a képletben N a mérések száma, R pedig a direkt feladatban szereplő paraméterek száma. (A kettő különbsége a rendszer szabadsági fokainak száma, amit fölösmérésnek neveznek.)

A kiegyenlített paraméterek (X) súlykoefficiens mátrixa (a levezetés mellőzésével):

(8.21)

Ennek a mennyiségnek a -tel vett szorzata adja a paraméterek kovariancia mátrixát.

A kiegyenlített mérési eredmények (U) súlykoefficiens mátrixa (ugyancsak mellőzve a részleteket):

(8.22)

ahol felhasználtuk az előzőleg kiszámított QXX mátrixot.

A mérési javítások (v) súlykoefficiens mátrixának általános alakja az alábbi:

(8.23)

Ennek kiszámításához felhasználhatjuk, hogy a mérések súlykoefficiens mátrixa (QLL) a súlymátrix inverze:

(8.24)

valamint, hogy a javítások súlykoefficiens mátrixa a mérések és a kiegyenlített mérések súlykoefficiens mátrixából az alábbi módon számolható:

(8.25)

A kiegyenlített paraméterek súlykoefficiens mátrixából számolható mátrixot, a paraméterek kovariancia mátrixát minden kiegyenlítési feladat során ki kell számolni, az eredmények megbízhatóságának számszerűsítése céljából.