8.5. Legkisebb négyzetes becslés eltérő súlyú mérések esetén

Eddigi példáinkban a méréseinket egyforma súlyúnak tekintettük. Előfordulhat azonban, hogy valamely méréseket nem gondolunk megbízhatónak, azokat nagyobb zajjal terheltnek tekintjük. Ezeket a méréseket kisebb súllyal szeretnénk szerepeltetni a minimumban, míg a megbízható méréseket nagyobb súllyal.

Tekintsük az alábbi feladatot! Két karó távolságát 4-szer megmértük egy mérőszalaggal. Az alábbi táblázat tartalmazza a mért adatokat.

8.1. táblázat. Ugyanarra a távolságra vonatkozó négy távolságmérés eredménye

 Tekintsük ismeretlen meghatározandó paraméternek a karók távolságát (a0), eszerint az ismeretlenek vektora egy 1 elemű vektor.

A modell szerint, a távolság a paraméter értéke. Eszerint a direktfeladatnak a modell paraméter szerinti deriváltja: 1. Ez minden mérésre igaz, eszerint az A alakmátrix egy 1 oszlopból és 4 sorból álló, csak 1-eket tartalmazó vektor.  Az l tisztatag tartalmazza a mért adatok és a modell különbségét, ha a modellparaméter 0, vagyis az l tisztatag-vektor a mért távolságokból álló 4 elemű oszlopvektor.

(8.30, 8.31, 8.32)

 A (8.29) egyenlet segítségével határozzuk meg a paraméter értékét, ami 10,06 lesz.  (A legkisebb négyzetek módszeréből levezetett megoldás – egyforma súlyú mérések esetén – megegyezik, a mérések átlagával.)

Módosítsuk az előbbi feladatot! Egy újabb mérőcsoport újabb 4 alkalommal megméri a két karó távolságát, de ők pontosabban mértek. A méréseik eredménye az alábbi táblázatban van:

8.2. táblázat. Ugyanarra a távolságra vonatkozó újabb négy távolságmérés eredménye

Látszik, hogy ezeknek a méréseknek kisebb a szórása. (A mérések átlaga: 10,00) Szeretnénk mind a 8 mérésünket felhasználni, a paraméter értékének meghatározásához, de figyelembe szeretnénk venni, hogy az első négy mérésünk „pontatlanabb” az utolsó négy „pontosabb”.

A legkisebb négyzetek elvének levezetésénél abból indultunk ki, hogy minimalizáljuk a rezidulálok négyzeteinek összegét:

 

(8.33)

Jelen esetben, az eltérés négyzeteket súlyozni kellene:

(8.34)

A pi súlyokat a tapasztalat alapján általában az adott mérés szórásnégyzetének reciprokának választják:

(8.35)

A fenti feladatban ez azt jelenti, hogy az első négy mérésre meghatározzuk a szórásnégyzetet és azt használjuk súlynak az első négy mérés mellé, majd az utolsó 4 mérésből meghatározott szórásnégyzet reciproka lesz az utolsó 4 mérés súlya. A súlyok számításához a tapasztalati szórásnégyzet (3.54) képletét használjuk fel.

Eszerint a súlyok:

(8.36)

A képletben az első négy mérés átlagát jelenti, N pedig a mérések száma, vagyis 4, amiből a szórás: σI = 0,150. Ugyanez a képlet használható a második 4 mérés szórásának kiszámításához, természetesen itt az utóbbi négy mérés és azok átlaga szerepel, aminek a segítségével a szórás: σII = 0,021.

A minimumfeltételt mátrix-vektor formában felírva kapjuk:

(8.37)

Ahol a PLL mátrix a súlymátrix, amely a mérések kovarianciamátrixának inverze elosztva az egységnyi súlyú mérés szórásnégyzetével (8.4). Abban a speciális esetben, ha a mérések függetlenek, csak a főátlóban lesznek elemek, a szórásnégyzetek reciprokai:

Esetünkben a súlymátrix elemei: pI = 44,24 és pII = 2142,85.

(8.38)

A súlymátrixot is tartalmazó minimumfeltétel kifejtéséhez felhasználjuk a javítási egyenelet (8.9) alakját. Ekkor:

(8.39)

Egyenletnek az x paramétervektor szerinti deriváltját képezzük, és ahol ez a derivált nulla annál az x vektor értékénél van a függvénynek szélsőértéke.

Az egyenlet megoldása, a (8.3)-tól (8.13)-ig tartó levezetés analógiájára:

(8.40)

Az adott feladatnál az egyenletben szereplő A alakmátrix most egy 1-esekből álló 8 elemű oszlopvektor, az l tisztatag vektor tartalmazza a 8 mérést. A PLL súlymátrix a (8.4) képlet segítségével határozható meg a mérések kovariancia mátrixából. A súlyozott átlag: 10,0012 sokkal közelebb esik a második 4 mérés átlagához.