8.6. A mérések szórásának becslése a mérési anyagból

Vizsgáljuk meg újra a fenti példát! Láttuk, hogy az első négy mérés átlagát képezve, megkaptuk a várható érték becslését, és ennek felhasználásával kaptuk az első négy mérés szórását. Ugyanezt a műveletet megismételve a második négy mérésre, megkaptuk a második négy mérés szórását. Ezeknek a szórásnégyzeteknek a reciprokjait alkalmaztuk a mérések PLL súlymátrixában, amit a kiegyenlítéshez felhasználtunk.

A fenti esetben szerencsésen felhasználhattuk, hogy az egyes mérési csoportok szórását könnyen kiszámíthattuk, ehhez külön-külön elvégeztük az inverziót, ami jelen esetben az átlagolást jelentette. A gyakorlatban előforduló esetekben azonban nem tudjuk, vagy nem akarjuk szétválasztani az egyes mérési csoportjainkat, és azokra külön-külön elvégezni az inverziót.

Ebben az esetben, az inverzió elvégzése után, lehetőségünk van az egyes mérési csoportokhoz tartozó szórások becslésére, de csak az inverzió elvégzése után.

Ennek levezetéséhez írjuk fel ismét az egység súlyú mérés szórásának képletét:

(8.41)

ahol r a fölösmérések száma. Az r mennyiség értelmezhető úgy, mint az egyes mérésekre jutó ri redundancia komponensek összege, ahol ri az egy mérésre jutó redundancia. Ez a mennyiség megkapható mint a , N×N méretű mátrix főátlóban levő elemeiből képzett vektor. A redundancia komponenseket valamennyi mérésre összegezve kapjuk a fölösmérések számát:

(8.42)

A méréseinkből képezzünk K darab csoportot úgy, hogy a k-adik csoportban azonos pk súlyt tételezhessünk fel a csoportba tartozó mérésekhez. Ennek segítségével felírhatjuk az egységnyi súlyú mérés szórásnégyzetét:

(8.43)

ahol nk a mérések száma a k-adik csoportban. Ha a  súlyokat jól választjuk meg, akkor a fenti képlettel valóban az egységnyi súlyú mérés szórását kapjuk meg, bármelyik k csoportra számolva.

Az eljárás alkalmazása során az iteráció első lépésében egyforma súlyokat feltételezve elvégezzük a kiegyenlítést. Ekkor a (8.41) képlet alkalmazásával becslést kapunk -re. Ennek és a (8.43) egyenlet átrendezése segítségével kifejezzük az a posteriori súlyokat:

(8.44)

Ezután a  súlyokat  súlyoknak tekintjük a kiegyenlítés újabb elvégzése során. Néhány iterációs lépés után azt kapjuk, hogy sem a súlyok, sem a becsült mennyiségek nem változnak.

A fenti módszer gyakorlati alkalmazására tekintsük a korábban bemutatott 4-4 hosszúságmérés esetét. A módszer alkalmazása során első lépésben a két mérési csoportot azonos súlyúnak tekintjük.

8.3. táblázat. A két mérési sorozatban mért hosszúságok találhatók a baloldali oszlopokban. A középső oszlopokban az egyforma súllyal végzett kiegyenlítések esetén a maradékhibák, a jobboldali oszlopban a mérési adatokból becsült mérési hibákkal végzett kiegyenlítés maradékhibái láthatók.

Az első iterációs lépéshez a méréseket azonos súlyúaknak tételezzük fel. Ekkor a PLL mátrixot és annak inverzét (a QLL mátrixot) is egységmátrixnak (I) vehetjük. A kiegyenlítés elvégzése után ki kell számolnunk a redundancia együtthatókat, amik a szorzatmátrix főátlóban levő elemei. Ehhez felhasználjuk még a mátrixot, amit a (8.23) egyenlet segítségével számolunk. Ehhez az

 és

(8.45, 8.46)

mátrixokat használjuk fel. Ennek segítségével:

(8.47)

A redundancia komponens elemei eszerint 0,875 értékűek. (Ezt elemi meggondolásból is megkaphattuk volna, ugyanis 8 mérésünk van, és 1 meghatározandó paraméterünk, amiből a redundancia komponens a szabadsági fokok és a mérések számának hányadosa vagyis . Az újabb iterációs lépések során a redundancia komponensek változni fognak!)

A 8 darab mérésre az egyforma súlyokkal történő kiegyenlítésből megkaptuk, hogy a kiegyenlített távolság (x) 10,03 lesz. Az egységnyi súlyú mérés szórása (8.41) alapján 0,104-nek adódik, szórásnégyzete () pedig 0,011.

Az egységnyi súlyú mérés szórásnégyzete és a redundancia komponensek segítségével a (8.44) az első iterációs lépés után kiszámolt súlyok:

(8.48, 8.49)

A második iterációs lépésben a súlyokat beírjuk a PLL mátrixba, és ezzel az új mátrixszal elvégezve a kiegyenlítést, megkapjuk az új kiegyenlített távolságot (x). A PLL mátrix segítségével kiszámoljuk a Qvv mátrixot, majd az ri redundancia komponenseket. Kiszámoljuk az egységnyi súlyú mérés szórásnégyzetét (), majd a súlyokat (p1 és p2).

A fenti példában a harmadik iterációs lépés elvégzésére is szükség van. Ennek során megismételjük a második iterációs lépést.

A bemutatott példa esetén a harmadik iterációs lépésben a kiegyenlített távolság (x) 10.0013 lesz (ami gyakorlatilag megegyezik az ismert súlyokból számolt eredménnyel) a súlyok pedig:

(8.50, 8.51)

A további iterációs lépések során már a súlyok nem változnak. A 8.3. táblázat utolsó két oszlopában láthatók a javítások, amik megegyeznek a maradékhibákkal.

Az inverzió minőségének meghatározásához meg kell határozni a kiegyenlített paraméterek kovariancia mátrixát. Jelen esetben egyetlen ismeretlenünk van: a0. A paraméterek kovariancia mátrixa az egységnyi súlyú mérés és a kiegyenlített paraméterek súlykoefficiens mátrixának szorzata:

(8.52)

amiből az becsült paramétere szórása: 0,0106.

A fenti módszernek, vagyis a szórások a posteriori becslésének a két szélsőséges esetét vizsgáljuk meg!

Az első esetben a valamennyi mérésünknek azonos szórást tételezhetünk fel, ekkor a  szórás 1-nek választható, és visszakapjuk az azonos súlyú mérésekre felírt egyenleteket, amik a fenti példában az x = 10,03 eredményre vezet.

A második esetben a minden méréshez külön szórást akarunk meghatározni, vagyis annyi mérési csoportunk van, ahány mérésünk. Ezt a fenti számítás módszer átalakításával meg tudjuk valósítani.