11. fejezet - Kiegyenlítés csak mért mennyiségeket tartalmazó feltételi egyenletekkel

Tartalom

11.1. A feladat módosítása: több mérés két álláspont között
11.2. A feladat újabb módosítása: több álláspont közötti vonal
11.3. Eredmények

Az ebben a fejezetben bemutatásra kerülő probléma – mivel nem tartalmaz meghatározandó paramétereket – általában nem tárgya a geofizikai inverziót tárgyaló könyveknek. A téma tárgyalását az indokolja, hogy segítségével be tudjuk mutatni az egyes mérések közvetlen súlyozását.

Mérjük meg két pont koordinátáit GPS segítségével (valamely vetületi koordináta rendszerben, amely esetben a vetületi egyenletekből következő hossztorzulást elhanyagolhatónak tekinthetjük). Mérjük meg ugyanezen két terepi pont távolságát mérőszalaggal is!

Az esetek nagy részében, a két pont koordinátakülönbségeiből Pitagorasz-tétellel számított távolság, és a mérőszalaggal mért távolság különbözni fog. Igaz továbbá, hogy ezen 5 mérés (két-két koordináta és a távolság) közül egyet elhagyva a hiányzó ötödik mennyiséget kiszámíthatjuk. (Ez nyilvánvaló a mérőszalaggal mért távolság elhagyása esetén. Valamely koordináta elhagyása esetén nulla, egy, vagy két lehetséges koordinátaértéket kaphatunk a rendelkezésre álló 4 adatból számítással.) Ez azt jelenti, hogy egy darab, fölösmérésünk van.

Az az igényünk, hogy a mért távolság megegyezzen a koordinátakülönbségekből számított távolsággal, egy feltételi egyenlettel fejezhető ki. Ez a feltételi egyenlet azonban a mért értékeinkre nem teljesül:

(11.1)

A fenti egyenlet jobb oldalán, a nullától különböző mennyiséget itt is tisztatagnak nevezzük és l-lel jelöljük. Amennyiben több feltételi egyenletet tudunk felírni, a tisztatag mennyiségeket az vektorba rendezhetjük.

Tételezzük fel, hogy valamilyen formában sikerült meghatároznunk azokat a mennyiségeket (a javításokat), amelyeket a mért értékeinkhez hozzáadva olyan javított (kiegyenlített) mennyiségeket kapunk, amelyek már kielégítik a feltételi egyenleteket:

(11.2)

Az egyenletben szereplő javításokat a – a fenti példában ötelemű – javítás vektor (v) elemeinek tekintjük.

A problémát az jelenti, hogy egyetlen feltételi egyenletünk van, azonban 5 meghatározandó mennyiségünk, a javításvektor 5 eleme. Emiatt a feladat alulhatározott. A problémát egy további feltétel bevezetésével orvosolhatjuk, ha előírjuk, hogy a javítások (a v vektor elemei) a lehető legkisebbek legyenek, vagyis a négyzetösszegük minimális legyen, úgy, hogy közben a feltételi egyenlet is teljesüljön a javításokkal korrigált mérési eredményekre.

Elfogadjuk-e azonban azt a megoldást, amelyből az jön ki, hogy mind a GPS méréseket, mind a mérőszalagos mérést 2-2 méterrel kell módosítanunk, hogy a feltételi egyenlet teljesüljön? Nyilvánvaló, hogy a mérőszalagos mérésről nehezen fogadjuk el, hogy 10 cm-nél pontatlanabb lenne, a GPS mérésnél akár 10-20 méteres hibát is elhiszünk. Ezt úgy tudjuk figyelembe venni, hogy az egyes méréseket súlyozzuk, és a javítások súlyozott négyzetösszegét minimalizáljuk.

A súlyozáshoz általában használhatjuk az egyes mért mennyiségek szórásnégyzetének a reciprokját. Egy nagy szórású mérést – a szórás négyzetekkel osztva – tehát kis súllyal vesszük figyelembe, egy kis szórású mérést pedig nagy súllyal. A súlyokat egy négyzetes mátrix főátlójába is elhelyezhetjük, ekkor a diagonális mátrix főátlójában az egyes mérések szórásnégyzeteinek reciprokai állnak. Ez abban az esetben közelíti jól az adott problémát, ha az egyes mérések korrelálatlanok. Korrelált mérések esetén a mérések kovarianciamátrixának inverzét használjuk súlymátrixnak.

A mérések súlyait a már korábban megismert súlymátrix eleme tartalmazzák. A súlymátrix segítségével a minimumfeltétel alakja:

(11.3)

A példánál maradva a GPS mérések szórásának tekinthetjük a GPS által a kijelzőn megjelenített HDOP értékeket (példánkban 5 méter). A mérőszalagos mérés hibáját 2 cm-nek tekinthetjük. Ebben az esetben a mátrix alakja:

(11.4)

 Ahol a mérések sorrendje: , emiatt a mátrixban is ebben a sorrendben tüntetjük fel az egyes mérések szórását.

Fontos megjegyezni, hogy mivel a mátrixot diagonális mátrixként írtuk fel, ezzel azt tételezzük fel, hogy az egyes méréseink függetlenek egymástól!

Ahogy korábban megfogalmaztuk, az (11.3) egyenlet minimumát úgy keressük, hogy közben az (11.2) egyenlettel kifejezett feltétel is teljesüljön. Ehhez az (11.2) egyenletet olyan formába hoznunk, hogy az a javítások lineáris függvénye legyen. Ehhez az (11.2) egyenletet Taylor-sorba fejtjük a javítások szerint az aktuális mérési értékek körül, és csak a nullad-, és elsőrendű tagokat hagyjuk meg. Egy feltételi egyenlet esetén ez általánosságban az alábbi alakú:

(11.5)

ahol az egyenlet baloldala nulla (a nullára rendezett feltételi egyenlet miatt). Az egyenlet jobb oldalán az mennyiséggel már találkoztunk, ez a mennyiség áll a (11.1) egyenlet jobb oldalán. Az egyenlet jobb oldalán az mennyiség a feltételi egyenletnek a mérések szerinti parciális deriváltja. Amennyiben több feltételi egyenletet tudunk felírni, akkor a feltételi egyenletek egy vektorfüggvény elemeit képezik, amelynek elemeire a Taylor-sorfejtés:

(11.6)

ahol a feltételi egyenleteknek a mérések szerint parciális deriváltjaiból képzett Jacobi mátrix, amit B-vel jelölünk. A v vektor a méréseink javításai, amit meg akarunk határozni. Az f(L) mennyiség mínusz egyszeresét nevezzük tisztatagnak, , ugyanis formálisan megegyezik a paraméterek javításainak meghatározására felírt egyenletekben szereplő tisztataggal. Felhasználva az tisztatag vektor (11.2) egyenletét, a feltételi egyenletet az alábbi linearizált alakba írhatjuk át :

(11.7)

A jelenlegi példánkban a mátrix 1×5 elemű, a vektor 5×1 elemű (oszlopvektor), az vektor 1 elemű.)

A feltételes szélsőérték kereséséhez az alábbi egyenletet írhatjuk fel (hasonlóan a 10.17 egyenlethez):

(11.8)

Ahol vektor az ún. Lagrange-multiplikátor (korreláta).

Minthogy a (11.8) egyenleteknek illetve szerint szélsőértéke van, ezért az egyenlet illetve  szerint deriválja nulla kell legyen. A deriválást elvégezve majd az első egyenletet átrendezve az alábbi egyenleteket kapjuk:

(11.9- 11.10)

A (11.9-11.10) egyenletek hipermátrix formába rendezhetők:

(11.11)

A javítások vektorát megkaphatjuk az (11.11) egyenlet megoldásával, vagy akár az (11.9) képletben szereplő felső egyenletből kifejezzük a vektort az alábbi alakban:

(11.12)

Majd azt a (11.10) képlet alsó egyenletébe helyettesítjük:

(11.13)

A (11.13) egyenlet a megoldandó normálegyenlet, amelyből kifejezve vektort, majd visszaírva a (11.12) egyenletbe kapjuk a keresett javításokat.

11.1. A feladat módosítása: több mérés két álláspont között

Módosítsuk úgy a feladatunkat, hogy a mérőszalagos mérés mellett, kompasz segítségével meghatározzuk az álláspontok közötti irányszöget is!

Ezek alapján két mérési pont között a pontok különböző módszerekkel mért távolságára felírt feltételi egyenlet (11.1) mellé felírhatunk még egy feltételt: az álláspontok GPS-sel mért koordinátáinak különbségéből származó irányszög, és a kompasszal mért irányszög (azimut) különbségére:

(11.14)

Az egyenletbe a mért mennyiségeket behelyettesítve az egyenlet jobb oldalán nullától különböző értéket kapunk. Ennek mínusz egyszeresét tekintjük a tisztatagnak.

A mért szögek előzetes hibáját 5°-nak tekintsük, és a mágneses északi irány valamint a vetületi rendszer északi iránya közötti különbséget hanyagoljuk el. A gyakorlati számítások során az atan() függvény helyett az atan2() függvényt alkalmaztuk, argumentuma nem az hányados, hanem az és az koordinátakülönbségek. Ennek segítségével az atan2() függvény automatikusan kezeli a térnegyedek problémáját. A szögkülönbség értékkészlete (a tisztatag) -180° és 180° közötti értékeket vehet fel.

Ekkor tehát a két álláspont 2-2 mért koordinátája mellé jön a pontok mérőszalaggal mért távolsága és a kompasszal mért irányszög, összesen tehát 6 mérésünk van. Mivel ennyi mérésünk van, amit meg akarunk javítani, tehát a javítások vektora 6 elemű lesz. Ehhez 2 feltételi egyenletet írunk fel. A B mátrix tehát 2×6 méretű.