3. fejezet - Folyadékpotenciál, Darcy törvénye

Tartalom

3.1 Darcy kísérlete és törvénye
3.2 A folyadékpotenciál és a hidraulikus emelkedési magasság összefüggése
3.3 Kutakban végzendő mérések a folyadékpotenciál eloszlás meghatározására
3.4 Csatolt áramlások
3.5 Jelölések, dimenziók és mértékegységek
3.6 Ellenőrző kérdések
3.7 A fejezetben felhasznált irodalmak

A felszín alatti vizek a vízkörforgalom szerves részét képezik. A beszivárgás folyamatainak következtében jutnak be a felszín alá, majd a felszín alatti lefolyást követően, megcsapolódásuknak köszönhetően kerülnek vissza az atmoszférába vagy a hidroszférába (1.8 ábra). A telítetlen zónán beszivárgó víz a talajvízszintet elérve a telített felszín alatti térrészbe jut, ahol a felszín alatti vízáramlási rendszereken keresztül zajlik a lefolyás. E folyamat energetikailag vezérelt, ebből következően fizikailag jellemezhető és meghatározott geometria mentén történik. A továbbiakban áttekintjük a felszín alatti vizek mozgásfolyamatainak leírására szolgáló alapvető összefüggéseket.

3.1 Darcy kísérlete és törvénye

A felszín alatti víz porózus közegben történő áramlásának kvantitatív tanulmányozása Henry Darcy francia hadmérnök kísérleteivel kezdődött. Ezen kísérletek eredményeit – melyeket 1856-ban publikált – ma már Darcy-törvényként ismerjük. E törvény rámutat a folyadékok térfogati áramlása, azaz az áramlási intenzitás és a folyadékpotenciál gradiense között fennálló kapcsolatra. Darcy-törvényében az áramlási intenzitást és a potenciál gradienst egy arányossági tényező kapcsolja össze. E konstans részben az áramlási közeg, részben az áramló folyadék tulajdonságainak függvénye.

Tekintsünk egy L [L] hosszúságú, azonos szemcseméretű, mosott homokot tartalmazó, A [L2] keresztmetszetű, vízzel telített hengert (3.1. ábra). A víz konstans hozammal Q [L3 /T] áramlik a közegen keresztül, azaz a befolyó és kifolyó vízmennyiség egyenlő. Darcy azt találta, hogy a vízhozam arányos a cső keresztmetszetével (A), míg az arányossági tényező az áramlási intenzitás, azaz a q.

(3.1)

(3.2)

Végezzük el a dimenzió elemzést annak érdekében, hogy megértsük a q fizikai tartalmát!

(3.3)

(3.4)

(3.5)

A q bár látszólag sebesség dimenziójú – innen ered a Darcy-sebesség szóhasználat - de valójában fizikailag, a dimenzióelemzésből láthatóan(Q/A-ból következően), fajlagos térfogati hozam vagy áramlási intenzitás vagy térerő vagy fluxus. Ezek szinoním kifejezésekként kezelhetők.

A 3.1. ábra mutatja a folyadékoszlop magasságokat vagy hidraulikus emelkedési magasságokat h1 és h2, a mérési pontokban P1 és P2-ben. A mérési pontok távolsága Δl. A hidraulikus emelkedési magasságok különbsége a két manométerre vonatkozóan Δh. A hidraulikus emelkedési magasságok két komponensből tevődnek össze. Az egyik komponens a vonatkoztatási síktól a mérési pontig mért vízoszlop magasság, ez az ún. helyzeti magasság: z1 és z2. A második a mérési pont fölötti vízoszlop magasság, vagy a nyomásmagasság: ψ1 és ψ2. Darcy azt találta, hogy a permeábilis közegen keresztüli fluidumáramlás intenzitása q a fluidum hidraulikus gradiensével arányos. A hidraulikus gradiens a két mérési pont közötti folyadékoszlop magasságok különbsége Δh, osztva a mérési pontok távolságával Δl.

(3.6)

Az arányossági tényező, a hidraulikus vezetőképesség vagy szivárgási tényező:

(3.7)

A hidraulikus vezetőképesség a kísérleti tapasztalatok alapján a kőzet és a fluidum tulajdonságainak a függvénye:

(3.8)

ahol: k a közeg ún. belső, fluidum nélküli vezetőképessége vagy permeabilitása [L2], ρ a fluidum sűrűsége [M/L3], μ a fluidum dinamikai viszkozitása [M/LT], és g a gravitációs állandó [L/T2].

Darcy kísérleti berendezése

3.1. ábra: Darcy kísérleti berendezése (Freeze & Cherry, 1979 után módosítva)

 

A Darcy-törvény sokféle formában felírható, ezek közül az egyik legegyszerűbb:

(3.9)

Ahol h a hidraulikus emelkedési magasság [L], a Δh/Δl a hidraulikus gradiens vagy esés [L/L=L0], a K a hidraulikus vezetőképesség vagy szivárgási tényező [L/T]. Az egyenletben a negatív előjel konvenció és arra utal, hogy az áramlás mindig a csökkenő hidraulikus emelkedési magasság irányában, azaz a nagyobb folyadékpotenciál felől a kisebb folyadékpotenciál felé megy végbe.

Egy másik alak, amelyben az áramlási keresztmetszet is szerepel:

(3.10)

Ahol Q az átáramló hozam [L3/T] és A az áramlási kersztmetszet [L2]. A kísérleti henger végén kiáramló hozam (3.1. ábra) a hidraulikus gradiensből, az áramlási keresztmetszetből és a közeg hidraulikus vezetőképességéből számítható. Az ábra egyúttal mutatja a Darcy-törvény gyakorlati alkalmazását valós geológiai környezetben, ahol a manométereket kutak, a manométerekben mért vízszinteket a hidraulikus emelkedési magasságok helyettesítik, míg a K tényezőt a víztrató valós hidraulikus vezetőkpessége adja. Az áramlási keresztmetszet a víztrató vastagságából és szélességéből számítható két dimenzióban.

A Darcy-törvény fizikai jelentősége, hogy összefüggést teremt a fajlagos térfogati hozam vagy áramlási intenzitás vagy fluxus vagy térerő q és a hidraulikus emelkedési magasság h egységnyi hosszra eső megváltozása, azaz a hidraulikus esés vagy gradiens dh/dl között.

A Darcy-törvény tapasztalati törvény, kizárólag kísérleti bizonyításon alapul. A törvény a tér minden irányában érvényes, θ>90° is. Azaz felpumpálás, felfelé irányuló mozgás esetén is érvényes. Az áramlás irányát kizárólag a Δh hidraulikus emelkedési magasság különbség szabályozza és nem a nyomás különbség Δp. A vízáramlás mindig a nagyobb hidraulikus emelkedési magasságú hely felől az alacsonyabb felé irányul. Ezért szerepel a negatív előjel Darcy-törvényében. A 3.2. ábra mutatja, hogy az áramlás a kisebb nyomásemelkedési hely felől ψ1 a nagyobb felé ψ2 történik. A nyomásmagasságok segítségével felírhatjuk a manométerekben kialakuló hidrosztatikai nyomást:

(3.11)

ahol: p a pórusnyomás, g a nehézségi gyorsulás és ρ a sűrűség. Így az ábrából az is leolvasható, hogy az első esetben p1<p2, tehát a víz a kisebb nyomástól a nagyobb felé áramlik azért, mert a helyzeti magasság és a nyomásmagasság összege, a hidraulikus emelkedési magasság az első manométerben nagyobb, mint a másodikban, azaz h1>h2. Az ábrából tehát egyértelműenmegérthető, hogy az áramlás mindig a nagyobb hidraulikus emelkedési magasságú hely felől az alacsonyabb felé történik.

A Darcy-törvény a tér minden irányában érvényes

3.2. ábra: A Darcy-törvény a tér minden irányában érvényes

Az áramlási intenzitás, Darcy-sebesség q fizikai tartalma: egységnyi keresztmetszeten egységnyi idő alatt keresztüláramló vízmennyiség. Az áramlási intenzitás nem azonos a lineáris vagy vonalmenti sebességgel, v. Az áramlási intenzitás makroszkopikus átlagos fluidum sebesség, nem mikroszkopikus sebesség.

A Darcy-törvény érvényessége korlátozott. A hidraulikus gradiens és a fluxus közötti lineáris kapcsolat nem áll fenn a dh/dl 0tartományban. A lineáris összefüggés érvényességét a Reynolds szám Re jellemzi:

(3.12)

ahol: ρ a folyadék sűrűsége, d az átlagos szemátmérő, μ a folyadék viszkozitása. A Darcy törvény érvényessége Re=10-2-10-2 közöttitartományra korlátozódik, ez az ábrán II-vel jelölt tartomány. A lineáris kapcsolat nem áll fenn a túl kicsi Re<10-2 és a túl nagy Re>102 Reynolds számok ésaz ezekhez köthető hidraulikus gradiensek mellett, a fluxus és a hidraulikus gradiens között. Az 3.3. ábra I-el jelölt tartománya az ún. szivárgás nélküli, illetve mikroszivárgási tartomány. Itt a pórusokban fellépő tapadóerők és a súrlódási erő meghaladja a gravitációs hajtóerőt. A III. tartomány az átmeneti és a turbulens szivárgás tartománya. Ebben a tartományban ugyan lehetséges a lamináris szivárgás, de már itt sem lineáris az összefüggés a fluxus és a hidraulikus gradiens között. Ennek oka a turbulencia miatt felépő tehetelenségi erőben rejlik. Mint már utaltunk rá, a Re>102  esetben már a turbulens szivárgási tartományban vagyunk, ahol nem érvényes a Darcy-törvény.

A Darcy-törvény érvényessége

3.3. ábra: A Darcy-törvény érvényessége (Freeze and Cherry, 1979)

A Darcy-törvény általános formában felírható vektor alakban:

(3.13)

Skalár mennyiség, esetünkben a h gradiense felírható az adott skalár térbeli deriváltjaként:

(3.14)

A Darcy-törvény a felszín alatti vizek mozgásának intenzitását leíró törvény. Megfigyelésből, kísérletből levezetett empirikus összefüggés. Az áramlás irányát a hidraulikus emelkedési magasság különbség szabályozza. A áramlás iránya és a hidraulikus gradiens ellentétesek. Ez a magyarázata a negatív előjelnek a Darcy-törvényben. A Darcy-törvény a tér minden irányában érvényes, azaz a q függőleges komponense – a mérési pontok között vizsgálva – felfelé és lefelé mutató egyaránt lehet.

A Darcy-törvény jelentősége abban rejlik, hogy valós hidrogeológiai szituációkban az áramlás leírására és előrejelzésére felhasználható. Például ha egy víztartóra tudjuk a a víztartót harántoló kutakban észlelt nyugalmi vízszinteket – akkor a folyadékáramlás intenzitása és a víztartóbeli hozam előre jelezhető, megfelelő kőzet- és fluidumtulajdonságokat feltételezve.

A szennyezők felszín alatti szállítódásának számításakor is ezeket az összefüggéseket kell használjuk. Az egységnyi keresztmetszeten átáramló szennyező hozam megállapításakor a fluxussal számolunk. A szennyező front előrehaladási ütemének becslésekor a lineáris sebességgel dolgozunk.