3.2 A folyadékpotenciál és a hidraulikus emelkedési magasság összefüggése

A Darcy-törvény szerint a h hidraulikus emelkedési magasság különbség határozza meg az áramlás irányát és intenzitását. Kérdés, ha ez így van, mi az a fizikai tényező, amit h-val mérünk. A választ King M. Hubbert adta meg, a „The Theory of Groundwater Motion” (1940) című munkájában.

Az egységnyi m tömegű folyadékot P0-ból P pontba mozgatva az ekkor fellépő munkakomponensek:

1. z=0 → z=z A gravitációval szemben végzett munka

(3.15)

2. v=0 → v=v A v0=0-ról a v=v-ig történő gyorsuláshoz használt munka

(3.16)

3. p0 → p A p0-ról p-re csökkent nyomás következtében az elasztikus táguláskor kifejtett munka vagy annak ellentéte.

(3.17)

miatt felírhatjuk

(3.18)

Az m tömegő folyadékot P pontba mozgatva, munkát végzünk rajta. Az előzőekben felírt három munkakomponens, a helyzeti energia, mozgási energia és az elasztikus energia adja a végzett munka összegét, azaz a teljes mechanikai energiát, E:

(3.19)

A folyadékpotenciál, Φ az egységnyi tömegű folyadékra jutó összes mechanikai energia mennyisége:

(3.20)

Így eljutunk a Bernoulli-törvényhez.

(3.21)

A következő feltételezésekkel élhetük: a felszín alatti nagyon kis szivárgási sebességek miatt a v elhanyagolható:

(3.22)

Összenyomhatatlan folyadék esetén a sűrűséget konstansnak vehetjük ( és felírhatjuk:

(3.23)

Ezáltal a Bernoull-törvény módosított változatához jutunk:

(3.24)

Ez a Hubbert-féle energiaegyenlet. A p0 az atmoszferikus nyomás vagy viszonyító nyomás. Mivel a viszonító nyomás értéke p0=0, az egyenlet az alábbi alakra hozható:

(3.25)

(3.26)

Ahol h a hidraulikus emelkedési magasság, z a helyzeti magasság, Ψ a nyomásemelkedési magasság. Az egyenlet alapján ugyanazon p mellett a Ψ és h különböző lesz, ha más a folyadék sűrűsége, ρ.

Nézzük meg a folyadékpotenciál, Φ kapcsolatát a hidraulikus emelkedési magassággal, h.

(3.27)

A P mérési pontban a nyomás: p+p0

(3.28)

(3.29)

(3.30)

(3.31)

A levezetés eredményeként a folyadékpotenciálra kapott egyenletből következik, hogy a h, a hidraulikus emelkedési magasság, az egységnyi víztömegre jutó mechanikai energia mennyiségét fejezi ki és ezáltal a folyadékpotenciál Φ mérőszáma. A hidraulikus emelkedési magasség, h és a Hubbert-féle folyadékpotenciál, Φ a felszín alatti folyadékmozgás hajtóerejének kétféle kifejezése. A hidrogeológusok többnyire a h-val dolgoznak.

A következőkben vizsgáljuk meg a nyomásmagasság és a helyzeti magasság kapcsolatát egy statikus vízoszlop példáján (3.4. ábra). A vízoszlop tetején a hidrosztatikai nyomás nulla, mivel a viszonyító nyomást, a légköri nyomást zérónak tekintjük. Lefelé haladva a nyomás nő, mértéke ρgΨ-vel jellemezhető. A folyadékoszlop alján a nyomás értéke: ρg6 egység. A 3.4. ábrán a szaggatott vonallal a helyzeti magasságot, a folyamatos vonallal a folyadékoszlop magasságot, a normál szaggatott vonallal a nyomásemelkedési magasságot jelöltük.

A folyadékoszlop-magasság a folyadék tetején hat egység, ebben a pontban megegyezik a helyzeti magassággal. Ha ebben a vízoszlopban a mérési ponttal haladunk lefelé, a nyomásemelkedési magasság növekedése mellett a helyzeti magasság ugyanolyan mértékben csökken. Ugyanakkor a kettő összege mindig kiadja a folyadékoszlop magasságot, hiszen statikus vízoszlopról van szó. Azaz a mérési pont helyzetének változtatásával a folyadékoszlop-magasság komponensei változnak.

A folyadékoszlop-magasság megoszlása a helyzeti és a nyomásemelkedési magasság között statikus

3.4. ábra: A folyadékoszlop-magasság megoszlása a helyzeti és a nyomásemelkedési magasság között statikus