4.8 Hidraulikus vezetőképességi ellipszoid

Anizotróp áramlási közegben a fő horizontális (Kx) és vertikális (Kz) hidraulikus vezetőképesség értékek mellett  felmerül a kérdés: mi K értéke a tér tetszőleges S irányában? A választ a hidraulikus vezetőképességi ellipszoid segítségével kaphatjuk meg.

Legyen tehát S az a tetszőleges térbeli irány, melyre a Ks értéket meg kell határozni (4.11. ábra). Kx és Kz a fő hidraulikus vezetőképesség értékek és irányok a homogén anizotróp közegben. ∂S az az útszakasz, amelyre a ∂h-t tekintjük (komponensei: ∂x, ∂z), míg ∂h a hidraulikus emelkedési magasság megváltozása a ∂S-re vonatkozóan (∂h/∂x; ∂h/∂z).

S – tetszőleges térbeli irány, melyre a Ks értéket meghatározzuk

4.11. ábra: S – tetszőleges térbeli irány, melyre a Ks értéket meghatározzuk, h: ekvipotenciális vonalak

Az áramlási intenzitás S irányban (qs; komponensei: qx, qz):

(4.23)

Mivel h=h(x,y), ezért qs felbontható x és z irányú komponensekre (4.12. ábra):

(4.24)

S irányú áramlási intenzitás (qs) felbontása x és z irányú komponensekre

4.12. ábra: S irányú áramlási intenzitás (qs) felbontása x és z irányú komponensekre

Kétváltozós függvény deriválási szabálya szerint:

(4.25)

A ∂x/∂S és ∂z/∂S tagok felírhatók a következőképpen is:

(4.26)

Visszatérve qs definíciójához (23. egyenlet) és kifejezve a ∂h/∂S tagot:

(4.27)

A 25. és 26. egyenletek alapján:

(4.28)

A qs felbontásához (24. egyenlet(ek)) visszatérve a 28. egyenlet ∂h/∂x és ∂h/∂z tagjai is kifejthetők:

 

(4.29)

A 28. egyenlet tehát felírható így is:

(4.30)

Osztva a 30. egyenlet mindkét oldalát (-qs)-sel:

(4.31)

A 31. egyenlet alapján anizotróp közegben Kx és Kz ismeretében bármely θ szögre megadható Ks.

Végül a 31. egyenletet egy derékszögű koordináta rendszerbe helyezzük és a kör egyenletével (r2=x2+z2) a következő módon kombináljuk (4.13. ábra).

Kör és ellipszis egyenletének elemei

4.13. ábra: Kör és ellipszis egyenletének elemei

Legyen és , így a 31. egyenletben szereplő és . Ezeket a 31. egyenletbe helyettesítve már egy ellipszis (4.13. ábra) egyenletét

kapjuk:

(4.32)

   

A hidraulikus vezetőképességi ellipszis főtengelyei tehát: és  (három dimenzióban az ellipszoid harmadik főtengelye: ). Az ellipszis általános képletének és a 32. egyenletnek a bal oldalán szereplő tagjainak egyenlőségéből ( ) pedig a hidraulikus vezetőképesség S irányú értéke következik: .

A hidraulikus vezetőképességi vagy anizotrópia ellipszoid segítségével tehát K értéke a tér bármely (S) irányába meghatározható, ha Kx és Kz ismert. Ennek a későbbiekben az áramkép szerkesztés során lesz jelentősége.