4.9 A Darcy-törvény általános alakja

Három dimenziós áramlás esetén anizotróp közegben a Darcy-törvény általános alakját kell használni az eddigiekben bemutatott egy dimenziós helyett.

Amennyiben az anizotrópia fő irányai egybeesnek az x,y,z koordináta tengelyekkel, csak az adott irányú gradiens és K komponens határozzák meg az adott irányú folyadékmozgást:

(4.33)

(4.34)

(4.35)

Ha azonban az anizotrópia fő irányai nem esnek egybe az x,y,z koordináta tengelyekkel, akkor erre a teljesen általános helyzetre egy K-tenzort kell felírni:

(4.36)

(4.37)

(4.38)

Ez esetben az egy-egy fluxus-komponenst meghatározó tagok azt mutatják meg, hogyan járul hozzá az x,y,z irányú hajtóerő az x,y,z irányú fluxus komponensekhez. Ezt pedig a K komponensei határozzák meg.

A 36-38. egyenleteket vektor alakban kifejezve:

(4.39)

A 39. egyenlet esetén egyszerűsítésként bevezethető egy vektor vagy differenciál operátor () is, amely az

tagot fejezi ki, ahol i, j és k egység vektorok x, y és z irányokban:

(4.40)

  

ahol a felülvonás arra utal, hogy K (hidraulikus vezetőképesség) ez esetben egy másodrendű tenzor. Mivel azonban

szerencsére szimmetrikus és vannak fő irányai, így a vizsgált rendszer koordináta tengelyeit a

tenzor fő irányaihoz igazítva a 36-40. egyenletekben az átlón kívüli tagok nulla értéket vehetnek fel, ezáltal egyszerűsítve a képletet. Rétegzett rendszerekben például a koordináta tengelyek gyakran igazíthatók a rétegzéshez.