6. fejezet - A felszín alatti vízáramlást leíró egyenletek

Tartalom

6.1 Az áramlási egyenletek, a stacioner/permanens és a tranziens/nem-permanens állapot
6.2 Stacioner felszín alatti vízáramlás telített porózus közegben
6.2.1 Az áramlási egyenlet levezetése stacioner esetre
6.2.2 Tranziens felszín alatti vízáramlás telített porózus közegben
6.3 Ellenőrző kérdések:
6.4 A fejezetben felhasznált irodalmak

A műszaki- és természettudományokban a vizsgálatok alapja mindig a fizikai folyamatok megértése. Ehhez azonban szükség van arra, hogy ezeket a fizikai folyamatokat matematikailag is le tudjuk írni. Nincs ez másként a felszín alatti vízáramlások esetében sem. A porózus közegen történő vízáramlás fizikai törvényszerűségek által vezérelt folyamat, amely matematikai összefüggésekkel jellemezhető.

Ebben a fejezetben a felszín alatti vízáramlásokat leíró matematikai egyenleteket mutatjuk be porózus, telített közeg esetében, stacioner (időben állandó, permanens, steady state), illetve tranziens (időben változó, nem-permanens, transient) esetekben.

6.1 Az áramlási egyenletek, a stacioner/permanens és a tranziens/nem-permanens állapot

Mint azt már láthattuk a 3. fejezetben, a felszín alatti vízáramlásokat leíró alap összefüggés a Darcy-törvény. A Darcy-törvény lamináris áramlási viszonyok között, és telített közegre érvényes. A lamináris áramlás azt jelenti, hogy a vízrészecskék áramlási pályájukon egymással párhuzamosan mozognak. A hasadékos és karsztos tározók esetében a nagy járatokban a vízáramlás fel tud gyorsulni, így turbulenssé válik. Emiatt ebben a környezetben a Darcy-törvény nem érvényes, nem használható. Ugyanígy a nagyon kis hidraulikus vezetőképességű (K<10-12 m/s) vízlassító rétegek esetében pedig az alacsony szivárgási sebességek miatt nem valósul meg a lamináris áramlás, így a Darcy-törvény ebben az esetben sem érvényes.

A vízáramlás, mint fizikai folyamat fizikai leírása Darcy tapasztalati törvényén nyugszik. Az áramlási egyenleteket lamináris áramlás és telített közeg esetére kell, hogy defíniáljuk. Emellett kérdés az is, hogy az időt, mint változót figyelembe vesszük-e a vízáramlások matematikai leképezésénél. Ehhez először defíniálni kell a stacioner és tranziens fogalmak jelentését.

Az áramlási jelenségek fizikai értelemben stacioner és tranziens folyamatok egyaránt lehetnek. A stacioner állapot (steady state, permanens állapot) időbeli állandóságot jelent. A közeg egy adott elemi térfogatát tekintve a belépő tömegáram (vízmennyiség) egyenlő lesz a kilépő tömegárammal (vízmennyiséggel), azaz a felszín alatti vízáramlás fluxus vektora (q) konstans. Ez akkor valósul meg, ha a hidraulikus emelkedési magasság értékek (h) az adott térfogategységben folyamatosan állandóak maradnak. A stacioner áramlás ezek alapján időben állandó hozamú, intenzitású és irányú áramlást jelent.Nyilván ez az időbeli állandóság is definiálásra szoril, melyre később kitérünk.

Ezzel szemben a tranziens esetben a vízszintek időben változnak, ezáltal az áramlás intenzitása, iránya is időben változhat. Az áramtér tehát időben változó jelleget mutat, a fluxusvektor (q) és a hidraulikus emelkedési magaság (h) értékek is időbeli változást mutatnak. Ennek oka legtöbbször, hogy valamilyen emberi beavatkozás hatására pórusnyomás változás történik a rendszerben, illetve valamilyen geológiai időskálán történő változás az áramtérben, a határfelületeken időbeli változást idéz elő.

A természetben a stacioner és tranziens állapot elkülönítése mindig az adott probléma függvénye. Akár ugyanaz a helyzet különböző időskálán és célból vizsgálva stacionernek és tranziensnek is tekinthető. Ha elég hosszú időskálán vizsgálódunk, a hidraulikus emelkedési magasság változások hosszú távon kiegyenlítik egymást, így a rendszer stacionernek tekinthető. Míg ha a hosszú időskála egy kis részletét emeljük ki, abban a rendszer tranziens állapotot mutat. Mindemellett a valóságban a hidraulikus emelkedési magasságok sosem tekinthetők változatlan értékűnek, mivel  a különböző léptékű vízszintváltozások gyakorlatilag folyamatosak. Emiatt gyakran stacioner eset fennállását fogadjuk el a h értékek normál természetes fluktuációja esetében, ha problémánk szempontjából ezek a változások elhanyagolhatóak. Ilyenkor azonban az adott problémára definiálnunk kell, hogy mekkora az a változás, vagy ingadozás a vízszintekben, amit még stacionernek elfogadunk.

Az áramlási egyenleteket tehát összefoglalva lamináris áramlás és telített közeg esetére, külön stacioner és külön tranziens állapotra kell, hogy levezessük.

A felszín alatti vízáramlások irány-, hely- és időfüggő térbeli jellege miatt parciális differenciálegyenletekkel írhatók le, ahol x,y,z ( a tér három iránya) és az t (idő) a független változók.

Az egyenletek levezetése során egyrészt a Darcy-törvényből indulunk ki, ami a momentumegmaradás elvét fejezi ki. Másrészt a levezetés során a tömeg- és energiamegmaradás törvényét fogjuk alkalmazni, mint alap összefüggést, melyet pedig a folytonossági egyenlet fejez ki. A tömegmegmaradás törvénye (folytonossági alapelv) azt fejezi ki, hogy egy adott víztartó egységnyi térfogatában nem történik tömegváltozás. Bármilyen tömegváltozás történik az egységnyi térfogatba beáramló folyadék mennyiségében, azt a kiáramló vagy a tározott vízmennyiség, vagy mindkettő megváltozásának kell kompenzálnia. Ezt a törvényt a termodinamika első főtételének is nevezzük, amely kimondja, hogy egy zárt rendszerben energia nem keletkezik, nem vész el, csak átalakul. A termodinamika második főtétele azt mondja ki, hogy egy elszigetelt rendszer állapota időben termikus egyensúly felé halad, azaz a rendszerben végbemenő energiaváltozás mindig a mechanikai energia hőenergiává alakulása felé halad. Ezeket az alap összefüggéseket kombinálva a Darcy-törvénnyel vezethetjük le az áramlási egyenleteket (Jacob, 1940; Cooper, 1966; Domenico, 1972).