6.2 Stacioner felszín alatti vízáramlás telített porózus közegben

6.2.1 Az áramlási egyenlet levezetése stacioner esetre

A stacioner állapotot megértéséhez tekintsük a közeg egységnyi  térfogatú elemét (egy egységnyi oldalú kockát) és vizsgáljuk a rajta keresztül zajló vízáramlást (6.1. ábra). A kocka oldalainak hossza dx, dy, és dz. A kocka oldalainak felülete dxdy, dydz és dxdz. Feltételezzük, hogy a víztartó homogén és izotróp.

Egységnyi térfogatú kockán át zajló vízmozgás matematikai leírása

6.1. ábra: Egységnyi térfogatú kockán át zajló vízmozgás leírása (Fetter, 1994 nyomán)

A kockán keresztül haladó áramlást a koordináta rendszer három irányában írhatjuk le. Definíció szerint q a kocka egyes lapjain átáramló víz intenzitását mutatja meg, ρ pedig a víz sűrűségét jelöli.

A vízhozam x irányban, dydz lapra merőlegesen:

(6.1)

  

Ugyanezen lapon átáramló tömegáram:

(6.2)

A belépő tömegáram ugyanígy felírható y és z irányban is (6.1. ábra).

Az elemi térfogatú kockán belül csak a tömegáram irány szerinti megoszlásában történik változás. Ezt figyelembe véve az x irányban kilépő tömegáram komponens a következőképpen írható le irányban:

(6.3)

A kilépő tömegáram teljesen hasonló módon írható fel y és z irányban is (6.1. ábra)

Mivel a kiindulási feltételünk az volt, hogy permanens (stacioner) állapot uralkodjon, ehhez a bemenő és a kilépő tömegáramoknak egyenlőnek kell lenni a kocka egészére vonatkozóan, mindhárom áramlási irányban. Matematikailag kifejezve ez azt jelenti, hogy a belépő és a kilépő tömegáramok divergenciája 0-val egyenlő.

Az egységnyi felületekkel való egyszerűsítés után:

(6.4)

Az összefüggés tehát lényegében azt fejezi ki, hogy a kocka belsejében történő tömegáramváltozásoknak ki kell oltaniuk egymást, azaz a három irányban történő tömegáramváltozás nullával kell, hogy egyenlő legyen. Ezt egyszerűbben kifejezve:

(6.5)

Ezt az összefüggést folytonossági egyenletnek nevezzük, amely kifejezi, hogy a tömegáramlás intenzitásának

( ) divergenciája, széttartása nullával egyenlő.

Szorzat deriválási szabálya szerint minden tagra felírható:

(6.6)

Mivel a sűrűség változása a legtöbb probléma esetében elhanyagolható, továbbá a felszín alatti vízáramlások esetén a q is minimálisnak tekinthető, így mind a három összefüggés esetében a második tag elhanyagolható, nullának vehető. Ugyanakkor a q megváltozása jelentős, a sűrűség (ρ) értéke önmagában pedig nullától eltérő. Az első tag tehát meghatározó.

(6.7)

Mivel a sűrűség (ρ) nullától eltérő érték, eloszthatjuk vele az egyenlet mindkét oldalát és így megkapjuk a Folytonossági egyenlet egyszerűbb alakját permanens állapotra:

(6.8)

A következő lépés a Darcy-törvény és a folytonossági egyenlet összekapcsolása. A Darcy-törvény a tér három irányában a következőképpen írható fel, abban az esetben, ha anizotrópiát feltételezünk, tehát a hidraulikus vezetőképesség értéke irányfüggő (azaz megkülönböztetünk: Kx, Ky Kz-t.):

(6.9)

Ezt kombinálva a folytonossági egyenlettel (6.7) megkapjuk a permanens áramlási egyenlet anizotróp esetre:

(6.10)

Ebből az alap összefüggésből vezethetjük le az áramlási egyenletet homogén izotróp, illetve heterogén anizotróp közeg esetére.

Homogén izotróp esetben eltekintünk,a hidraulikus vezetősképesség (K) irány és hely szerinti változásától, tehát izotróp esetben K=Kx=Ky=Kz.és homogén esetben K (x,y,z)= konstans:

(6.11)

Mivel K értéke nullától eltérő a (2.11)-as egyenlet mindkét oldalát eloszthatjuk K-val. Így megkapjuk az úgynevezett Laplace-egyenletet (2.12).

(6.12)

A Laplace-egyenlet tehát a vízáramlást leíró alapegyenlet homogén izotróp esetben, permanens állapotban, telített porózus közegben. Az egyenlet konzervatív erőtérben érvényes, ahol nincsen se vízforrás, se víznyelő, azaz a rendszerben jelen lévő víz mennyisége nem változik. Az egyenlet nem csak hidraulikus emelkedési magasságokkal (h), hanem potenciál-alakban (Φ) is felírható.

A permanens áramlási egyenelet heterogén és anizotróp közegre is felírható:

(6.13)

Ez a legelterjedtebben használt áramlási egyenlet. Az egyenlet megoldásával az áramtér bármely pontjában a K értékek ismeretében a hidraulikus emelkedési magasság (h) vagy nyomásemelkedési magasság (ψ) értéke kiszámítható.

A h eloszlás térbeli megjelenítésének segítségével egy adott terület áramlási képe megrajzolható. Erre különböző adatfeldolgozási módszerek léteznek. Egy adott területre előállíthatunk potenciometrikus felszín térképeket melyek a h horizontális eloszlását mutatják meg ekvipotenciál vonalak formájában egy kiválasztott vastagságú kőzetblokkra. Segítségével az áramlások vízszintes iránya adható meg. Emellett a h értékek alkalmasak egy függőleges szelvény mentén az áramlások egy síkban való megjelenítésére. Így egy adott szelvényvonal mentén a választott mélységtartományban az áramlási irányok megszerkeszthetőek. A szelvények és térképek együttes értelmezése a terület áramlási viszonyainak megismerését teszik lehetővé. A grafikus áramkép-szerkesztés szintén az áramlási egyenlet megoldásának tekinthető. Ezeken túl mutat a 3D áramkép szerkesztése, amely szintén a kiszámolt h értékeken alapszik. Az áramlások három dimenziós megjelenítéséhez a h értékek bonyolult megjelenítésére van szükség. Ez kézi megoldással már nem lehetséges, különböző térinformatikai programok használata szükséges.

A Laplace-egyenlet az alapja az előbbi ábrázolási formáknál bonyolultabb analitikus és numerikus vízáramlás modellezésnek. Itt az adott szoftver egy térrészre megadott hidraulikus peremfeltételeknek megfelelően számolja a h értékeket a tér minden egyes pontjára. Mivel ez a Laplace-egyenlet végtelen sok megoldását igényli, ehhez már számítógépes programok alkalmazására van szükség.

6.2.2 Tranziens felszín alatti vízáramlás telített porózus közegben

Tranziens áramlás esetén az áramlási kép időben változik. Ha a megfigyeléseinket továbbra is egységnyi térfogatelemre vonatkoztatjuk, azt tapasztaljuk, hogy az elemi térfogatú cellába belépő tömegáram nem lesz egyenlő a kilépő tömegárammal, divρq≠0. A tömegmegmaradás törvénye tranziens esetben telített porózus közegben előírja, hogy a nettó (belépő-kilépő) tömegáram az elemi térfogategység esetében egyenlő az adott térfogatelemben tározott víz időbeli megváltozásával. Azaz tranziens esetben az elemi cellán belül fellépő hiány vagy többlet a térrészen belüli h értékek időbeli megváltozásában jelentkezik. Ezáltal kapcsolódik be a problémába az idő faktor.

A matematikai levezetéshez a h értékekben bekövetkező változást időbeli tömegváltozásra kell lefordítani. Az egységnyi térfogatban tározott folyadéktömeg egyenlő ρ*n, ahol ρ a víz sűrűsége és n a porozitás. A folytonossági egyenlet tehát a következő formát veszi fel:

(6.14)

A szorzat deriválási szabályát alkalmazva:

(6.15)

A  tag a víztartó egységnyi térfogatából egységnyi idő alatt felszabaduló/elnyelődő vízmennyiséget fejezi ki. Ez két tagra bontható. Az egyenlet jobb oldalának első tagja a kőzetváz kompakciójából vagy tágulásából fakadó porozitásváltozás folytán felszabaduló vagy elnyelődő vízmennyiséget fejezi ki. A második tag az az időbeli tömegváltozás (felszabaduló vagy elnyelődő víztömeg), ami a víz sűrűségváltozásának következménye. Az első tag tehát a porózus közeg kompresszibilitásának, míg a második tag a víz kompresszibilitásának függvénye.

Ez a két kifejezés (az egyenlet jobb oldala) nagyon hasonlít a fajlagos tározás S0 definíciójára, azzal a különbséggel, hogy itt a felszabaduló vagy elnyelődő vízmennyiséget tömegváltozás formájában fejezzük ki, valamint ezt a víztömegváltozást egységnyi időre vonatkoztatjuk.

Azért, hogy S0-t az áramlási egyenletbe behozhassuk, az egységnyi vízszintváltozásra vonatkoztatott S0 értéket víz-tömegváltozás kifejezésére kell, hogy konvertáljuk: ρS0. Ezt az értéket az elemi kőzettérfogatban bekövetkező teljes hidraulikus emelkedési magasság változásra és egységnyi időre vonatkoztatva, ρS0dh/dt alakhoz jutunk:

(6.16)

A szorzat deriválási szabályát alkalmazva:

(6.17)

tagok elhanyagolhatóak, így az egyenlet tovább módosul:

(6.18)

Az egyenlet mindkét oldalát a sűrűséggel elosztva megkapjuk a folytonossági egyenletet tranziens formáját:

(6.19)

A  következő lépésben a folytonossági egyenletet kombináljuk a Darcy-törvénnyel a stacioner esethez teljesen hasonló módon:

(6.20)

Így megkapjuk a tranziens vízáramlási egyenletet anizotróp esetre, telített porózus közegre.

Homogén (K(x,y,z)=konstans) és izotróp (Kx=Ky=Kz) esetben a tranziens vízáramlás egyenlete a következő formát veszi fel:

(6.21)

Ezt az egyenletet hívjuk diffúziós egyenletnek, ugyanis az egyenlet jobb oldalán megjelent a hidraulikus diffúziós tényező/diffúziós állandó reciproka. Ebből is látszik, hogy a tranziens áramlási egyenlet lényegében a pórusnyomás-változás időbeli terjedését írja le.

Ha az egyenletet két dimenzióra egyszerűsítjük és egy b vastagságú fedett, horizontális víztartóra alkalmazzuk, ahol S = S0b és T = Kb, ehhez az alakhoz jutunk:

(6.22)

Az egyenlet megoldásával h(x,y,z,t), azaz h értéke a víztartó bármely P(x,y,z) pontjában, bármely t időpillanatban S és T (vagy S0 és K) ismeretében kiszámítható. Mint azt már az előző fejezetben tárgyaltuk, S és T (S0 és K) legegyszerűbb meghatározási módszere a kutakban végzett szivattyúpróba, melyek során egy kutat szivattyúzunk, és a magában a kútban, valamint a megfigyelőkutakban mérjük szivattyúzás hatására fellépő vízszintváltozást az idő függvényében. Az elvet megfordítva a közegre jellemző S és T ismeretében, az idő függvényében előre jelezhető h (a víztartóban fellépő a vízszintváltozás) értéke. Arra azonban ügyelnünk kell, hogy abban az esetben, ha a szivattyúzás hatása kiterjed a talajvíztükörig, azaz nyitott vízadóról beszélünk, akkor a vízszintsüllyedés mértéke már nem S0, hanem Sy függvényében történik!

Ha a probléma olyan, hogy dh/dt=0, akkor visszajutunk a stacioner esethez, azaz a Laplace-egyenlethez.

A tranziens egyenletek alkalmazása hasonló a Laplace-egyenletéhez, azonban jellemzően numerikus úton oldhatók meg. Az áramképek időbeli változását így leginkább számítógépes szimulációkkal tudjuk vizsgálni. A jelenleg használatban lévő programcsomagok mind alkalmasak tranziens folyamatok leírására. A legújabb programcsomagok már a telítetlen zónában zajló folyamatok jellemzésére is képesek. A probléma és a matematikai egyenletek bonyolultsága miatt a telítetlen zóna áramlásainak számítása szintén numerikus megoldást igényel.