7.2 Homogén, izotróp közeg

A mennyiségileg pontos áramképek szerkesztése bizonyos mértékben művészet. A szerkesztés folyamata sok próbálkozást és hibázást tartogat, és csalódást okozhat a még gyakorlatlan szakemberek számára. Mindezek ellenére, az áramkép szerkesztése nagyon hasznos eszköz a felszín alatti vízáramlási rendszerek kvalitatív és – helyes szerkesztés esetén – kvantitatív meghatározására. Fontos kiemelni, ami a Laplace-egyenletből következik, hogy homogén, izotróp közegben az áramkép minőségi szempontból független az áramlási közeg hidraulikus vezetőképességétől. Azaz Darcy-törvénye alapján a hidraulikus gradiens (gradh) és az áramlás (q) iránya egy vonalba esik, de irányuk ellentétes. A hidraulikus vezetőképességnek (K) így csak a mennyiségi, azaz fluxus és vízhozam számításoknál van szerepe.

Homogén, izotróp rendszer esetén az áramkép szerkesztés három alaplépésből áll:

1. Az áramlási mező és a határfeltételek meghatározása.

2. Az áramvonalak és ekvipotenciális vonalak megszerkesztése: próbálkozások, javítások sorozata.

3. Az eredmény alapos vizsgálata, abból a szempontból, hogy az áramképben teljesülnek-e a szerkesztési szabályok.

A következő fejezetekben az egyes lépéseket részletesen bemutatjuk.

7.2.1 Az áramlási mező és a határfeltételek meghatározása

Az áramkép-szerkesztés első lépése mindig a vizsgált felszínalatti térrész lehatárolása, és a peremfeltételek megállapítása. Homogén, izotróp, és telített áramlási közegben három határtípust különíthetünk el: (1) impermeabilis határ (no-flow boundary), (2) ekvipotenciális határ (constant-head boundary), (3) talajvíztükör típusú határ (watertable boundary).

Elsőként tekintsük az áramlást egy impermeabilis határ közelében (7.1. ábra: a). Ahogy azt korábban már említettük, tökéletesen impermeabilis közeg a természetben nem létezik, határfeltételként azonban alkalmazzuk matematikai megoldások során. Mivel az impermeabilis határon keresztül nem történhet áramlás, így az áramvonalak azzal párhuzamosak, az ekvipotenciálok pedig arra merőlegesek. Felidézve a Darcy-törvényt, és az áramlási intenzitást (q) az impermeabilis határon keresztül nullának véve, a határfeltétel matematikai formulájához jutunk. Ez az x-z sík tengelyeivel párhuzamos határok esetén:

(7.1)

Ebből egyidejűleg az is következik, hogy az áramképben minden egyes áramvonal egy “látszólagos” impermeabilis határ, azaz az áramvonalon keresztül nem történhet áramlás. Áramkép szerkesztés során így ajánlott a vizsgált áramteret úgy méretezni, hogy a határoló áramvonalak szimmetria tengelyt képezzenek, amelyeknek így elég csak az egyik vagy másik oldalára megszerkeszteni az áramképet. Ebben az esetben, azaz ha a szimmetria tengelyvonala áramvonal is egyben, akkor a szimmetria tengely, mint határfeltétel mentén alkalmazható a 7.1. egyenlet.

Az ekvipotenciális, vagy állandó hidraulikus emelkedési magasságú határ (7.1. ábra: b) esetén a folyadékpotenciál értéke azonos a határ minden pontján, tehát az állandó hidraulikus emelkedési magasságú határ kijelöl egy ekvipotenciális vonalat. A határral szomszédos ekvipotenciális vonal párhuzamos azzal. Mivel homogén, izotróp közegben az áramvonalak merőlegesen metszik az ekvipotenciális vonalakat, ezért az áramlási irány merőleges az ekvipotenciális határra. A matematikai feltétel:

(7.2)

ahol c konstans.

A talajvíztükör típusú határ (7.1. ábra: c) a regionális áramrendszerek esetében speciális szerepű határ. A hidrogeológiai környezet függvényében általában a víztükör követi a felszín domborzatát. Felidézve a víztükör definícióját (p=patm=0) és behelyettesítve azt a hidraulikus emelkedési magasság egyenletébe ( ) azt kapjuk, hogy:

(7.3)

  

tehát a hidraulikus emelkedési magasság értéke numerikusan minden pontban megegyezik a talajvíztükör tengerszint feletti magasságával, amit regionális vizsgálatok során a térfelszín magasságával közelíthetünk. Ilyen módon a hidraulikus emelkedési magasság értéke változik a határ mentén a talajvíztükör vagy térfelszín domborzatának megfelelően. A víztükör határ megkönnyíti az áramképek szerkesztését, ugyanis a határ mentén ismertek a hidraulikus emelkedési magasság értékei. A víztükör típusú határ esetében sem az áramvonalaknak, sem az ekvipotenciális vonalaknak nem kell arra merőlegesnek lenniük. Így a határ helyzete nem határozza meg az áramlás irányát, az irányok az ekvipotenciáloktól függenek. Viszont a talajvíztükör határ determinálja az áramlások felső potenciálfelületét.

Az áramképek három különböző határfeltétel típusa

7.1. ábra: Az áramképek három különböző határfeltétel típusa (Freeze és Cherry, 1979). (a) impermeabilis határ, (b) ekvipotenciális vagy állandó hidraulikus emelkedési magasságú határ, (c) talajvíztükör típusú határ

7.2.2 Az áramkép megszerkesztése

Miután az áramlási mezőt, és az arra érvényes határfeltételeket meghatároztuk, a határokra vonatkozó információkat (hidraulikus emelkedési magasság értékek) áramképpé kell alakítani. Mielőtt bármit is szerkesztenénk, célszerű vizualizálni az áramvonalak, és az ekvipotenciális vonalak elosztását annak érdekében, hogy nagy vonalakban képet alkothassunk az áramképről. Miután kialakult bennünk egy elképzelés, megkezdődhet a próbálkozások és javítgatások folyamata. Nem lényeges, hogy az áramvonalak vagy az ekvipotenciális vonalak előállításával kezdjük a szerkesztést, habár legtöbben könnyebbnek tekintik az ekvipotenciális vonalakkal kezdeni. Az egyik módszer az áramkép szerkesztés megkezdésekor, hogy a teljes hidraulikus emelkedési magasság esést egyenlő részekre osztjuk fel, és ezt követően ábrázoljuk a feltételezett ekvipotenciális vonalakat. Miután ezeket megrajzoltuk, megszerkesztjük azokhoz a megfelelő áramvonalakat. Rendszerint több próbálkozás után sikerül csak e szerkesztést megfelelően megoldani.

7.2.3 Q számítása homogén-izotróp közegre, ha ismert K

Itt érdemes ismét megemlíteni, hogy egy kvantitatívan pontosan megszerkesztett áramkép alapján vízhozam számítást is lehet végezni.

A  7.2. ábra egy egyszerű áramképet mutat be, mely két víztározó közötti horizontális áramlást jelenít meg. Mindkét víztározóban állandó a hidraulikus emelkedési magasság, a bal oldaliban magasabb, míg a jobb oldaliban alacsonyabb. Az áramlási mező (Á) alsó és felső határai impermeabilisak (impermeable boundary), azokon nem áramolhat víz keresztül. A jobb- és baloldali határok állandó hidraulikus emelkedési magasság avagy ekvipotenciális típusú (constant head boundary) határok, ily módon, azok mentén állandó a hidraulikus emelkedési magasság értéke, a vízáramlás rajtuk keresztül merőleges irányban történik.

A határolt térrész (Á) 3 paraméterrel jellemezhető: H=h1-h2 azaz a két oldalsó határ közötti hidraulikus emelkedési magasság különbség, Q a teljes térfogaton átáramló vízhozam, K a közeg hidraulikus vezetőképessége.

Egy egyszerű áramkép

7.2. ábra: Egy egyszerű áramkép

Mint utaltunk rá, mindkét határ mentén az ekvipotenciális (az azonos hidraulikus emelkedési magasságú pontokat összekötő) vonalak függőlegesek. Felidézve a Darcy-törvényt, valamint a hidraulikus gradiens és az áramvonalak merőleges viszonyát, az következik, hogy az áramlás iránya a közegen keresztül vízszintes. Az áramkép, a Darcy-törvényt alkalmazva, a porózus közeg bármely – két ekvipotenciális vonallal és két áramvonallal határolt – „négyzetén” keresztül áramló víz mennyiségének meghatározására is használható. Ehhez a H teljes hidraulikus esést osszuk fel ekvipotenciális vonalakkal annyi részre (n), ahány részre az áramvonalak a teljes térrészt felosztják, azaz úgy, hogy az ekvipotenciál és az áramvonalak négyzeteket határoljanak le. Azaz ds=dm feltétel teljesüljön. Az áramteret felosztó három vízszintes (dm vastagságú) rétegen  – melyeket áramcsőnek nevezünk – azonos (dQ) mennyiségű víz áramlik keresztül. Az áramcsövek határát nevezzük áramvonalnak. Az áramvonalak mutatják a felszín alatti víz áramlási irányát. A  7.2. ábra egy teljes áramképet mutat be.

Az egy négyzeten keresztüláramló teljes hozam a következő összefüggés segítségével számítható ki:

(7.4)

ahol Qi a porózus közegen keresztül áramló teljes hozamot, K a közeg hidraulikus vezetőképességét, dh a két ekvipotenciális vonal közti hidraulikus emelkedési magasságkülönbséget (dh=H/n), dm az áramcső szélességét (az áramvonalak távolságát), míg ds az ekvipotenciális vonalak távolságát jelenti.

Sajnos a fenti hozamszámítás – magas szintű matematikai módszerek használata nélkül – csak abban az esetben használható, amennyiben ismerjük az ekvipotenciális vonalak, és az áramcsövek eloszlását az áramtérben.

A fenti feltételeket alakíthatjuk annak érdekében, hogy azt áramképek előállítására használhassuk. Mint utaltunk rá a kiinduláskor, ha megszabjuk, hogy az áramkép szerkesztésekor a dm és ds értékei azonosak legyenek, akkor olyan áramképet kapunk, mely úgynevezett „görbe négyzetek”-ből áll. Görbe négyzet alatt olyan síkidomot értünk, melyet négy görbe (két ekvipotenciális vonal és két áramvonal) határol, és amelybe kört lehet írni (7.3. ábra). Amennyiben dm azonos hosszúságú mint ds, akkor a dm/ds hányados egy. Ezt behelyettesítve a 7.4. egyenletbe, egy áramcsövön keresztül áramló víz mennyiségét a

(7.5)

egyenlet segítségével számíthatjuk ki, ahol dQi az egy áramcsövön keresztül áramló víz mennyiségét jelenti. Ekkor már a negatív előjelet is elhagyhatjuk, mivel itt az irány már nem döntő, csak a hozamra vagyunk kíváncsiak.

Az áramképen átáramló teljes hozam (Q) kiszámításához meg kell szorozni a dQi értéket az áramcsövek számával (m):

(7.6)

Mivel tudjuk, hogy dh=H/n, ezt behelyettesítve a 7.6. egyenletbe, a teljes hozam:

(7.7)

ahol ha m, n, K és H ismertek, kiszámítható Q.

Ha például az áramcsövek szélessége m=3, a teljes hidraulikus esés H=50, amelyet n=5 részre osztunk, a hidraulikus vezetőképesség pedig K=10-4 m/s, akkor Q=(3/5)*10-4*50=3*10-3 m3/s.

Ezzel a módszerrel tehát a víztározók között átáramló víz hozama is kiszámítható, és az áramlási irányok közvetlenül kiolvashatók az áramképből. A 7.7. egyenlet azonban csak olyan egyszerű áramlási helyzetek esetén alkalmazható, melyek egy utánpótlódási és egy megcsapolódási határral jellemezhetők. Bonyolultabb rendszerek esetén azonban jobb a dQi értéket egy áramcsőre kiszámítani, majd azt az áramcsövek számával szorozni (7.6. egyenlet).

7.2.4 Az áramkép ellenőrzése

Miután elkészültünk az áramkép megszerkesztésével, három szempontból kell azt megvizsgálni annak érdekében, hogy megállapíthassuk, a megszerkesztett áramkép megfelelő leképzése-e a valós áramlási szituációnak.

1. Az áramkép teljesíti-e a határfeltételeket? A kérdés, amit ez esetben vizsgálni kell, hogy az ekvipotenciális vonalak, illetve az áramvonalak megfelelő módon találkoznak-e a különböző típusú határokkal.

2. Teljesül-e a „görbe négyzetek” feltétele az áramképben? Mint azt korábban kifejtettük, az áramkép akkor pontos kvantitatívan, ha az áramcső szélessége, és az ekvipotenciális vonalak távolsága azonos, azaz kört lehet írni az általuk körbezárt területekbe (7.3. ábra). Az impermeabilis határok mentén megengedettek a részleges áramcsövek, melyekre nem kell teljesülni e feltételnek (7.3. ábra).

3. Homogén, izotróp közeg esetén, az áramvonalak és az ekvipotenciális vonalak derékszögben metszik-e egymást?

Ha az áramkép nem teljesíti e feltételek valamelyikét, abban az esetben újra kell szerkeszteni azt. Általában célravezetőbb az 1. lépéstől újra kezdeni a szerkesztést, mint a gyengén sikerült áramképet „pofozgatni”. E „próbálkozás-javítás” folyamatot addig kell folytatni, míg mindhárom feltételt kielégíti az áramkép, mely ekkor már az áramkép megjelenítésén túl, alkalmas akár kvantitatív kérdések megválaszolására is.

Gát alatti szivárgás homogén, izotróp kőzetvázon keresztül

7.3. ábra: Gát alatti szivárgás homogén, izotróp kőzetvázon keresztül (Freeze és Cherry, 1979 nyomán). Az áramképben megfigyelhetők „görbe négyzetek” és részleges áramcsövek is.

7.2.5 A homogén-izotróp áramkép szerkesztés szabályainak összefoglalása

A homogén-izotróp áramkép szerkesztés szabályait összefoglalva:

  • Izotróp közegben a Darcy-törvény értelmében az ekvipotenciális és áramvonalak merőlegesek.

  • Az áramvonalak párhuzamosak az impermeábilis határokkal.

  • Az áramvonalak merőlegesek az ekvipotenciális határokra.

  • A fenti három szabály alapján minden áramvonal egyben impermeábilis határ is.

  • Az áramvonalak és ekvipotenciális vonalak által bezárt területeknek „görbe négyzeteknek” kell lenni, azokba kört kell tudni írni.

  • Az áramkép megszerkeszthető az árammező egy részére is, az áramtérnek nem kell feltétlenül minden oldalról zárt határokkal rendelkeznie.

  • Az áramkép peremein nem kell feltétlenül teljes áramcsőnek lenni, ez esetben ezeket a rész-áramcsöveket arányosan kell figyelembe venni.