7.3 Heterogén, izotróp közeg, tangens törvény

Izotróp, heterogén közeg esetén az áramkép másképpen alakul, mivel a különböző hidraulikus vezetőképességű közegek határán az áramvonalak megtörnek. A 7.4. ábra 1. esetében egy jó vízvezetőképességű réteg helyezkedik el egy nagyságrenddel kisebb vezetőképességű közegben. Vizsgáljuk meg ezt az esetet kicsit részletesebben (7.5. ábra)!

Eltérő hidraulikus vezetőképességű közegek határán az áramvonalak megtörnek

7.4. ábra: Eltérő hidraulikus vezetőképességű közegek határán az áramvonalak megtörnek (Hubbert, 1940 nyomán). 1. eset:jó vezetőképességű réteg (K1) helyezkedik el egy nagyságrenddel kisebb vezetőképességű (K2) közegben. 2. eset: fordított helyzet

Az áramvonalak megtörnek különböző hidraulikus vezetőképességű közegek határán

7.5. ábra: Az áramvonalak megtörnek különböző hidraulikus vezetőképességű közegek határán

Ebben az esetben tehát K1 vezetőképességű közegből haladunk a nagyobb K2 vezetőképességű közegbe (pl. agyagból homokba) (7.5. ábra). Mivel stacioner áramlást feltételezünk, a Q1 és Q2 hozamok megegyeznek, vagyis a két közeg áramcsöveiben átfolyó víz mennyisége megegyezik. K1 közegben az áramcső szélessége „a”, K2 közegben „c”. A Darcy törvényt alkalmazva:

(7.8)

ahol dh1 a hidraulikus esés dl1 távolságra, dh2 pedig a dl2-re vonatkozik.

Mivel a dl1 és dl2 ugyanazon ekvipotenciál vonalak távolsága az 1. és 2. közegben, ezért: dh1=dh2.

Geometriai megfontolásból:

(7.9)

(7.10)

Ezeket behelyettesítve a 7.8. egyenletbe:

(7.11)

A 7.11. egyenletet egyszerűsítve:

(7.12)

Mivel

(7.13)

ezért átrendezve a 7.12. egyenletet, megkapjuk a jelenséget leíró tangens törvényt:

(7.14)

Következésképpen, nagy áteresztőképességű közegben kisebb keresztmetszetű áramcsőre, míg kis áteresztőképességű közegben nagyobb keresztmetszetű áramcsőre van szükség ugyanazon vízmennyiség átengedésére.

A 7.4. ábra ugyanakkor azt is mutatja, hogy az áramvonalak preferálják a nagy-permeabilitású formációkat mint potenciális útvonalakat, míg a kisebb permeabilitású rétegen a lehető legrövidebb úton igyekeznek áthaladni. Így rétegzett rendszerekben, melyekben a permeabilitás különbség legalább két nagyságrenddel eltér, az áramvonalak közel horizontálisak a vízvezetőkben és közel függőlegesek a vízfogókban.

További, az áramkép szerkesztésre vonatkozó feltétel heterogén közegben, hogy nem lehetséges a „görbe négyzetek” feltételét teljesíteni a teljes áramképben. Ehelyett az áramképben „négyzetek” lesznek az egyik rétegben, míg „téglalapok” a másikban. Ugyanakkor heterogén, izotróp esetben az áramvonalak és ekvipotenciális vonalak közti merőlegességet meg kell tartani.