7.4 Anizotróp közeg

7.4.1 Áramtér transzformáció

Homogén, anizotróp közegben az áramkép szerkesztést az nehezíti, hogy a hajtóerő, vagyis a hidraulikus gradiens (gradh) és az áramlás (q) iránya nem esik egy vonalba, vagyis az ekvipotenciálok és az áramvonalak nem merőlegese egymásra (7.6. ábra). Az áramlás a kisebb ellenállás felé, vagyis a nagyobb hidraulikus vezetőképesség felé térül el.

Annak érdekében, hogy mégis megszerkeszthessük egy anizotróp közeg áramképét, a permeabilitás ellipszoid segítségével transzformált szelvényeket használunk. A transzformált szelvényt úgy állítjuk elő, hogy megváltoztatjuk az eredeti áramlási tér koordináta-rendszerének tengelyeinek méretarányát annak érdekében, hogy az anizotrópiával számolni tudjunk. A transzformált szelvényt elkészítve, abban az izotróp közeg szabályai betartásával megszerkesztjük az áramképet, majd utolsó lépésként visszaállítjuk az eredeti koordinátarendszert. Az eredményül kapott áramképen értelemszerűen az ekvipotenciális vonalak és az áramvonalak nem derékszögben találkoznak.

Az ekvipotenciális és áramvonalak helyzete (A) izotróp és (B) anizotróp közegben

7.6. ábra: Az ekvipotenciális és áramvonalak helyzete (A) izotróp és (B) anizotróp közegben (Fetter, 1994 nyomán). Az előbbi esetben merőlegesek egymásra, az utóbbi esetben az áramlás eltérül.

A transzformációt a következő lépésekben lehet végrehajtani. Először is vezessük be a transzformáció arányát. Izotróp rendszerben a hidraulikus vezetőképesség a tér minden irányában azonos, vagyis z és x egyenlő. Anizotróp rendszerben az anizotrópia ellipszoid nagytengelye X, kistengelye Z (7.7. ábra). Ezeket az izotróp rendszer x, z értékeiből és az adott Kx és Kz fő hidraulikus vezetőképesség adatokból kifejezve:

(7.15)

Tehát az eredeti z méretet megszorozzuk a hányadossal, miközben az x méret változatlan marad (vagy fordítva, a z méret marad változatlan, míg az x méretet a fenti érték reciprokával szorozzuk meg).

Anizotróp közeg permeabilitás ellipszoidjának transzformációja izotróp közeg permeabilitás körévé

7.7. ábra: Anizotróp közeg permeabilitás ellipszoidjának transzformációja izotróp közeg permeabilitás körévé

Az anizotróp közegre vonatkozó stacioner áramlási egyenlet két dimenzióban:

(7.16)

Kx-szel elosztva az egyenletet:

(7.17)

Majd behelyettesítve a 7.17. egyenletbe a 7.15. egyenlet(ek)ben definiált X és Z paramétereket:

(7.18)

Ezzel eljutottunk a Laplace egyenlethez , vagyis a transzformáció során valóban egy izotróp rendszert kaptunk, azáltal, hogy az anizotrópia ellipszist körré transzformáltuk.

A transzformációs megoldás lépései tehát:

1. Az anizotróp rendszer transzformálása izotróp rendszerré, határfeltételek megállapítása

2. Az áramkép (vagyis az ekvipotenciális és áramvonalak) megszerkesztése az izotróp közeg szabályai szerint (tehát úgy, hogy az áramvonalak merőlegesek legyenek az ekvipotenciális vonalakra)

3. Az áramkép helyreállítása inverz transzformációval az eredeti rendszerbe (a metszéspontok koordinátái segítségével)

A 7.8. ábra egy példát mutat a transzformációs megoldásra. A vertikális keresztszelvény(ek) a felszín alatti vízáramlás útját mutatják – tételezzük fel, hogy – egy tóból (víztükör h=100) egy csatornába (csőkimenetnél h=0). A vertikális határt az áramlási rendszer szimmetriája biztosítja (azaz csak „virtuális” határ). Az alsó hotrizontális határ azonban egy valós, impermeábilis határ, amely alatti térrésszel nem feltételezünk kapcsolatot. Amennyiben a vertikális tengely tetszőlegesen felvett eleváció értékei a csatornánál z=0, a felszínen pedig z=100, akkor a képletből kiindulva, és a hwt=zwt összefüggést is figyelembe véve a nyomásemelkedési magasság Ψ=0 mindkét vertikális határon. Ezek szerint a talaj a térfelszínen(=tófelszínen) éppen telített állapotban van. A tó mélységétől az egyszerűség kedvéért eltekintünk. A csőkimenetnél Ψ=0 szabad kifolyást jelent. A talaj az áramtérben anizotróp hidraulikus vezetőképességet mutat: Kx/Kz=16. A transzformált szelvény (7.8/b. ábra) ennek megfelelően négyszeresen túlmagasított: . Az áramkép megszerkesztését követő inverz transzformáció során az izotróp közeget anizotróppá alakítjuk vissza (7.8/c. ábra). Ennek eredményeként az izotróp közeg bármely (X,Z) pontjára meghatározott hidraulikus emelkedési magasság érték az anizotróp közeg (x,z) pontjában azonos értéket fog felvenni.

Anizotróp közeg (a) transzformációja izotróppá (b), majd annak inverz transzformációja vissza anizotróp rendszerré (c)

7.8. ábra: Anizotróp közeg (a) transzformációja izotróppá (b), majd annak inverz transzformációja vissza anizotróp rendszerré (c) (Freeze és Cherry, 1979 nyomán). Kiindulási adatok: Kx=16Kz, víztükör h=100, a csőkimenetnél h=0, z=0, transzformáció aránya: Anizotróp közeg (a) transzformációja izotróppá (b), majd annak inverz transzformációja vissza anizotróp rendszerré (c)

Anizotróp rendszerek esetén az áramlási hozam számításkor ún. ekvivalens hidraulikus vezetőképességgel kell számolni. Bizonyítható, hogy a megfelelő K´ ekvivalens hidraulikus vezetőképesség a következő összefüggéssel adható meg:

(7.19)

  

A hozam számításakor a megfelelő egyenletekben a K helyett a K´ érékét kell használni.

7.4.2 Áramlási irány meghatározása

Anizotróp áramtér egy adott pontjában az áramlási irányt az inverz hidraulikus vezetőképességi ellipszis segítségével szerkeszthetjük meg, a következő módon (7.9. ábra). Először is felvesszük az inverz vezetőképességi ellipszist. Kx és Kz azaz az anizotrópia fő irányai ismertek, ezek reciprokai segítségével kiszámíthajuk az ellipszis kis- és nagytengelyét (7.9. ábra: 1). Majd megszerkesztjük az ekvipotenciális vonalat a valós helyzetében úgy, hogy metssze az ellipszis középpontját (7.9. ábra: 2). Következő lépésben megrajzoljuk a h gradiens irányát az ekvipotenciális vonalra merőlegesen (<7.9. ábra: 3). Végül érintőt szerkesztünk az ellipszishez abba a pontba, ahol a grad(h) metszi (7.9. ábra: 4) és az érintőre merőlegesen, az ellipszis középpontjából indulva megszerkesztjük az áramvonalat (7.9. ábra: 5).

Áramlási irány meghatározása anizotróp közegben

7.9. ábra: Áramlási irány meghatározása anizotróp közegben (Fetter, 1994 nyomán)

7.4.3 Az anizotrópia hatása az áramképre

Az anizotróp áramképek legfőbb jellegzetessége az ekvipotenciális és áramvonalak merőlegessége fennállásának megszűnése. Mint azt már említettük, az áramlás nem esik egy vonalba a hidraulikus gradienssel (gradh), hanem attól eltérül a kisebb ellenállás (nagyobb hidraulikus vezetőképesség) felé (7.6. ábra). A 7.10. ábra ugyanazt a problémát mutatja, mint a 7.8. ábra különböző anizotrópia arányok mellett. Az (a) esetben , azaz Kx<Kz és az áramlás z (vertikális) irányba térül el az izotróp (b) esethez ( = 1) képest. A (c) esetben viszont = 4, azaz Kx>Kz és az áramlás x (horizontális) irányba térül el az izotróp (b) esethez képest.

Anizotrópia hatása az áramképre

7.10. ábra: Anizotrópia hatása az áramképre (Freeze és Cherry, 1979). (a) Anizotrópia hatása az áramképre ; (b) Anizotrópia hatása az áramképre (izotróp); (c) Anizotrópia hatása az áramképre