5. fejezet - A légkör dinamikája

Tartalom

5.1 A légkörben ható erők
5.1.1. Gravitációs és centripetális erők
5.1.2. Nyomási gradiens erő
5.1.3. Hidrosztatikai felhajtó erő
5.1.4. Tehetetlenségi erők
5.1.5. Impulzusmomentum és forgatónyomaték
5.2. Egyensúlyi áramlások a légkörben
5.2.1. Geosztrófikus szél
5.2.2. Gradiens szél
5.2.3. A súrlódás szerepe
5.3. A légkör instabilitása

A légkördinamika a levegő áramlásait, azok tulajdonságait és törvényszerűségeit tanulmányozza. Ezek az áramlások kiterjedésüket tekintve a néhány cm-es nagyságrendtől a Föld méretével összemérhető, 10 000 km-es nagyságrendig terjednek. Ebben a fejezetben az áramlási rendszerek legfontosabb jellemzőivel foglalkozunk, illetve azokat a fizikai törvényeket, összefüggéseket ismertetjük, amelyek az áramlási rendszerek kialakulásában fontos szerepet játszanak.

5.1 A légkörben ható erők

5.1.1. Gravitációs és centripetális erők

A Földet körülvevő légtömeg mozgását meghatározó erők közül a legfontosabbak közé tartozik a gravitációs erő és a forgás miatt fellépő centripetális erő. A gravitációs erő minden testre hat, hiszen bármely két test kölcsönösen vonzza egymást. Ennek az erőnek a nagysága egyenesen arányos a testek tömegének szorzatával, és fordítottan arányos a testek tömegközéppontjai között mért távolság négyzetével. Azaz egy m tömegű testre ható, a Föld tömegvonzása következtében fellépő gravitációs erő a Föld tömegközéppontja felé mutat, és fordítottan arányos a középponttól mért R távolság négyzetével:

, (5.1)

ahol γ a gravitációs állandó (6,67·10–11 N m2/kg2), M pedig a Föld tömege (5,98·1024 kg). A fenti összefüggés egyszerűbb formában is felírható, amennyiben elég közel vagyunk a felszínhez, azaz ha az R távolság jó közelítéssel megegyezik a Föld 6 370 km-es sugarával (RF):

, ahol . (5.2)

Ez a feltételezés szinte az összes légköri folyamat esetében teljesül, hiszen a troposzféra maximális vertikális kiterjedése több mint két nagyságrenddel kisebb, mint a Föld sugara. A g gravitációs gyorsulás értékét kiszámolhatjuk, amennyiben a fenti összefüggésbe behelyettesítjük a gravitációs állandót, valamint a Föld tömegét és sugarát. Közepes földrajzi szélességeken, tengerszinten g = 9,81 m/s2.

A körpályán, állandó szögsebességgel mozgó test gyorsuló mozgást végez. A gyorsulás a sebességvektor irányváltozásának a következménye (5.1. ábra). Azt az erőt, amely a testet mozgásirányának megváltoztatására készteti, centripetális erőnek nevezzük. Az erő iránya a pálya P pontjából az O görbületi középpont felé mutat, nagysága arányos a forgástengelytől mért r távolsággal, illetve a forgásra jellemző ω szögsebesség négyzetével:

. (5.3)

Ezt a centripetális erőt kell kifejtenünk, amikor egy testet kötéllel kör alakú pályán kívánunk tartani.

 

Centripetális gyorsulás

5.1. ábra: Centripetális gyorsulás. Körpályán mozgó test sebességének iránya folytonosan változik. A P és P pontok közötti irányváltozást Δv adja meg. A centripetális gyorsulás (acp) és a centripetális erő iránya a Δv vektor irányával megegyezően mindig a kör közepe felé mutat.

 

A gravitációs erő (Fg), a nehézségi erő (G), valamint a centripetális erő (Fcp) viszonya a Föld felszínén.

5.2. ábra: A gravitációs erő (Fg), a nehézségi erő (G), valamint a centripetális erő (Fcp) viszonya a Föld felszínén. A Föld forgástengelyétől való távolságot r-rel, a Föld tömegközéppontjától való távolságot RF-feljelöljük.

A fentiekben ismertetett két erő (gravitációs és centripetális erők) hatásával magyarázhatjuk, hogy a földköpeny megszilárdulása nem szabályos gömb, hanem egy kicsit lapult geoid formájában történt. A Föld felszínén nyugalomban lévő, a Földdel együtt forgó testre a tömegvonzás, illetve a centripetális erő ellenereje hat. A Föld felszínén a centripetális erő legnagyobb értéke is közel 300-szor kisebb, mint a gravitációs erő. Hatása azonban a légkörre vonatkozóan sem hanyagolható el teljesen, hiszen – mint említettük – a Föld egy kissé lapult geoid alakja is a tengely körüli forgás következménye. A tömegvonzás következtében fellépő erő (Fg) iránya a Föld tömegközéppontja felé mutat, a centripetális erő ellenereje (Fcp) pedig merőleges a forgástengelyre (5.2. ábra). E két erő eredője lesz a G nehézségi erő. Mivel a felszín nyugalomban van, merőlegesnek kell lennie a nehézségi erőre, azaz a forgás következtében a Föld a gömbtől eltérő geoid alakot veszi fel. A Föld forgásának a következménye az is, hogy az azonos tömegű testek súlya változik a földrajzi szélességgel, az Egyenlítőn a legkisebb és a pólusoknál a legnagyobb. Az eltérés hozzávetőlegesen 0,5%. Az állócsillagokhoz rögzített koordináta-rendszerben a Föld 86 164 s alatt fordul meg teljesen a saját tengelye körül. A teljes körbeforduláshoz szükséges idő ismeretében e forgás Ω szögsebessége a következő módon számítható ki:

. (5.4)

Napjainkban sokat lehet hallani az ún. geostacionárius pályán mozgó telekommunikációs, hírközlési vagy éppen meteorológiai műholdakról. Ezekre a műholdakra az a jellemző, hogy a Földhöz képest állni látszanak, azaz állandóan a Föld egy adott pontja felett tartózkodnak. Azt könnyű belátni, hogy ilyen pálya csak az Egyenlítő síkjában lehetséges, hiszen csak itt esik egy egyenesbe a centripetális (Fcp) és a gravitációs (Fg) erő. A kérdés az, hogy milyen magas pályára kell juttatni egy műholdat, hogy kövesse a Föld forgását. A pálya magassága abból a feltételből számítható ki, miszerint a Földével megegyező Ω szögsebességgel mozgó műholdra ható centripetális erőt a gravitációs tömegvonzás biztosítja:

. (5.5)

Az egyenletből kifejezve a R pályasugarat kapjuk:

. (5.6)

Azaz a geostacionárius műholdak pályája a Föld felszíne felett közel 36 000 km-es magasságban található (mivel a Föld sugara 6370 km).

5.1.2. Nyomási gradiens erő

A nyomáskülönbség hatására fellépő erő az ún. nyomási gradiens erő. A nyomási gradiens erő merőleges az izobár felületekre (izobár felületen az azonos nyomású pontokat összekötő felületeket értjük), és a magasabb nyomású terület felől az alacsonyabb nyomású terület felé mutat (5.3. ábra).

 

Nyomási gradiens erő

5.3. ábra: Nyomási gradiens erő. Az Fp nyomási gradiens erő merőleges – a lap síkjára merőlegesnek tekintett – izobár felületekre.

Nagyságát az határozza meg, hogy a nyomás egy adott távolságon belül milyen gyorsan változik. Minél nagyobb ez a változás, annál nagyobb lesz az erő. Amennyiben az izobár felületek merőlegesek az y koordináta-tengelyre, a térfogategységre ható nyomási gradiens erő a következő közelítő összefüggéssel határozható meg:

, (5.7)

ahol Δp a Δy távolságon mért nyomáskülönbség. A negatív előjel arra utal, hogy az erő iránya ellentétes a nyomásváltozás irányával.

5.1.3. Hidrosztatikai felhajtó erő

A folyadékba mártott testre felhajtó erő hat (Ffel), amelynek nagysága egyenlő a test által kiszorított folyadék súlyával, azaz a test bemerülő részével egyenlő térfogatú folyadék súlyával. Archimedes jól ismert törvénye az alábbi összefüggéssel írható le:

, (5.8)

ahol ρf a folyadék sűrűsége, V a test bemerülő térfogata. A légtömegek vertikális mozgását a hidrosztatikai felhajtó erő és a nehézségi erő határozza meg. A folyamatot szemléletesen modellezhetjük egy hőlégballon mozgásával. Legyen a hőlégballont körülvevő levegő hőmérséklete T’, a hőlégballonban lévő levegő hőmérséklete pedig T. A V térfogatú hőlégballon vertikális irányú gyorsulását (a) a hidrosztatikai felhajtó erő és a nehézségi erő különbsége határozza meg:

, (5.9)

ahol ρ a külső levegő, ρ pedig a légballon belsejében lévő levegő sűrűsége. Az 5.9 egyenletből kifejezhető a hőlégballon gyorsulása:

(5.10)

Az egyenletet tovább alakíthatjuk, ha feltételezzük, hogy a légnyomás a két eltérő sűrűségű közegben azonos. Felhasználva, hogy a sűrűség fordítottan arányos a hőmérséklettel (lásd 4. fejezet) a gyorsulás kifejezhető a T és T’ hőmérsékletek függvényében:

(5.11)

azaz a hőlégballon felfelé gyorsul, ha hőmérséklete nagyobb a környező levegő hőmérsékleténél; nyugalomban van, vagy állandó sebességgel mozog, ha a két hőmérséklet megegyezik; és végül lefelé gyorsul, ha T T’.

Amennyiben a levegő vertikális gyorsulása elhanyagolható (ez a gyakorlatban azt jelenti, hogy a vertikális sebesség közel nulla), meghatározható, hogy hogyan változik a nyomás a magassággal. Írjuk fel az A alapterületű Δz vastagságú levegőoszlopra ható erőket (5.4. ábra)! A légoszlop teteje és alja közötti nyomáskülönbségből (p2– p1) származó felhajtó erő nagysága a következő összefüggéssel írható fel:

. (5.12)

 

Hidrosztatikai egyensúly

5.4. ábra: Hidrosztatikai egyensúly. Δz magasságú és A keresztmetszetű légoszlopra ható erők: F1 és F2 az A felületre ható nyomóerők, G a légoszlopra ható nehézségi erő; p1 és p2 a levegő nyomása z, illetve z+Δz magasságban.

Mivel a nyomás a magassággal csökken, azaz p1 >p2, ezért az így kapott felhajtóerő negatív lesz. Egyensúly esetén ez az erő ellentétes irányú és megegyező nagyságú a levegőoszlopra ható nehézségi erővel:

, (5.13)

ahol V a légoszlop térfogata és ρ a levegő sűrűsége a légoszlop belsejében. Az 5.12 és 5.13 kifejezéseket egyenlővé téve, némi átalakítás után kapjuk a következő összefüggést:

. (5.14)

Ez az egyenlet a légköri sztatika alapegyenlete, amely a nyugalomban lévő légkörben leírja a nyomás magassággal való változását.

5.1.4. Tehetetlenségi erők

Gyorsuló vagy forgó rendszerben a dinamikai hatások nem értelmezhetők a Newton-féle törvények alapján. Erre egy szemléletes példa az egyenes vonalú gyorsuló mozgást végző rendszer. A rendszerben lévő megfigyelő azt tapasztalja, hogy a testek mindenfajta erőhatás nélkül mozognak. Gondoljunk csak arra, hogy mi történik egy erősen fékező járművön. Hasonló problémával találjuk magunkat szembe, amikor a levegő áramlását a forgó Földön próbáljuk meg leírni. A Föld forgásának egyik meggyőző bizonyítéka az ún. Buys Ballot-féle széltörvény. Noha azt várnánk, hogy a levegő az izobárokra merőlegesen, a magas nyomású terület felől az alacsonyabb nyomású terület felé áramlik, a Buys Ballot (1817–1890) megfigyelésein alapuló bárikus széltörvény szerint a szelek az izobárokkal párhuzamosan fújnak, továbbá a szélnek háttal állva az északi féltekén az alacsonyabb nyomású terület bal kéz felé helyezkedik el. A jelenség megértéséhez végezzük el a következő kísérletet. Egy forgó korongon a középponttól r távolságra gurítsunk egy golyót v sebességgel a korong széle felé. Írjuk le a golyó mozgását a korongot felülről néző megfigyelő (5.5a. ábra), valamint a korong közepén ülő megfigyelő (5.5b. ábra) szemszögéből.

A külső megfigyelő azt látja, hogy mivel a golyóra semmilyen erő nem hat, az állandó sebességgel gurul a korong széle felé (vastagon húzott nyíl az 5.5a. ábrán). A korong közepén ülő megfigyelő ennél bonyolultabb pályát figyelhet meg. Jelöljük a golyó megfigyelőhöz viszonyított kezdeti helyzetének irányát É-vel! Nyomon követve a golyónak az É irányhoz viszonyított helyzetét, a korong közepén ülő megfigyelő azt tapasztalja, hogy a golyó egyrészt távolodik tőle, másrészt fokozatosan lemarad az É irányhoz képest, és egy görbült pályát ír le (5.5b. ábra).

 

Mozgás forgó vonatkoztatási rendszerben

5.5. ábra: Mozgás forgó vonatkoztatási rendszerben. Pontszerű test súrlódásmentes mozgása forgó korongon egy rendszeren kívüli külső megfigyelő (5.5a. ábra), illetve a korong közepén ülő megfigyelő szemszögéből (5.5b. ábra). A vastag fekete vonal a test mozgását mutatja a megfigyelő szemszögéből. A P0 pont a test, az É0 a képzeletbeli északi irány kezdeti pozícióját mutatja. A P1, P2, P3 és P4 pontok a test, É1,É2,É3 és É4 pontok az északi irány azonos időközönkénti helyzetét jelölik.

Az 5.5a. ábrán feltüntettük, hogy a külső szemlélő felől nézve hogyan helyezkedik el egymáshoz viszonyítva a korong közepén elhelyezkedő (azzal együtt forgó) megfigyelő látószöge és a mozgó golyó. Mivel a forgó rendszerben a golyó görbült pályán végez gyorsuló mozgást minden látható erőhatás nélkül, a jelenség értelmezésére egy tehetetlenségi erőt kell bevezetni. Ezt az erőt felfedezőjéről Coriolis-féle tehetetlenségi erőnek (röviden Coriolis-erőnek) nevezzük, és a következő összefüggéssel határozhatjuk meg:

, (5.15)

ahol m a test tömege, v és ω a sebesség-, illetve a szögsebességvektor nagysága, φ a két vektor által bezárt szög. A szögsebességvektor irányát a forgástengely irányával definiáljuk, azzal a kitétellel, hogy a vektor iránya felől nézve a rendszer az óramutató járásával ellentétesen forog (5.6. ábra). A Coriolis-erő mindig merőleges a sebességvektor és a szögsebességvektor által kifeszített síkra, és akkor a legnagyobb, ha ez a két vektor merőleges egymásra, vagyis a sarkokon fújó szelek esetén. Ebben az esetben a fenti egyenletben szereplő szinuszos tag elhagyható (mivel értéke 1).

 

Szögsebességvektor

5.6. ábra: Szögsebességvektor

 

A geosztrófikus szél kialakulása

5.7.ábra: A geosztrófikus szél kialakulása a nyomási gradiens erő és a Coriolis-erő egyensúlyának hatására az északi félgömbön

 

Foucault-féle inga pályája vízszintes síkon

5.8. ábra: Foucault-féle inga pályája vízszintes síkon, ha az ingát az A pontból, kezdő sebesség nélkül indítjuk el. A görbült pálya a Coriolis-erő következménye. v a sebességvektort, FC a Coriolis-erőt jelöli.

Ezek után térjünk vissza a Buys Ballot-féle széltörvény értelmezéséhez. Tegyük fel, hogy egy levegőrészecske a nyomási gradiens erő hatására az izobárokra merőlegesen kezd el mozogni (5.7. ábra). Mivel a Coriolis-erő merőleges a sebességvektorra, a légrészecske eltérül az eredeti mozgásiránytól. Ez az eltérítés mindaddig hat, amíg a Coriolis-erő hatását a nyomási gradiens erő nem kompenzálja, azaz amíg az áramlás párhuzamos nem lesz az izobárokkal. Mivel a Coriolis-erő kicsi, hatása csak akkor mutatható ki, ha a mozgás sokáig tart. A Coriolis-erőt bizonyító tények közül talán leghíresebb a Foucault-féle inga kísérlet, amelyet Foucault 1852-ben a párizsi Pantheonban egy 67 m hosszú, 28 kg tömegű ingával végzett. A nyugalmi helyzetéből kitérített és oldalirányú lökés nélkül elindított inga pályája az 5.8. ábrán látható. A külső szemlélő az eredményt úgy értelmezi, hogy miközben az inga megtartja lengési síkját, a Föld felszíne elforog alatta. A földi megfigyelő azonban csak a Coriolis-erő segítségével értelmezheti a görbült pályát.

5.1.5. Impulzusmomentum és forgatónyomaték

A testek forgására jellemző mennyiség az impulzusmomentum. Teljesen általános esetben ezt a mennyiséget csak rendkívül bonyolult módon határozhatjuk meg. Az alábbiakban csak egy egyszerű esetet, a forgástengelytől r távolságra lévő m tömegű tömegpont impulzusmomentumát írjuk fel:

, (5.16)

ahol ωaforgás szögsebessége (5.9. ábra).

Ha egy testre ható forgatónyomatékok eredője nulla, akkor a test impulzusmomentuma állandó marad. Ha például egy test valamilyen belső erő hatására (pl. egy rugó) közelebb kerül a forgástengelyhez, akkor úgy nő meg a szögsebessége, hogy az impulzusmomentum állandó maradjon, azaz:

. (5.17)

 

A forgástengelytől r távolságra lévő pontszerűnek tekinthető m tömegű test impulzusmomentuma.

5.9. ábra: A forgástengelytől r távolságra lévő pontszerűnek tekinthető m tömegű test impulzusmomentuma. Az r hosszúságú rudat súlytalannak tételezzük fel.

 

Forgatónyomaték (M) definíciója

5.10. ábra: Forgatónyomaték (M) definíciója. F a forgó testre ható erőt jelöli. Az erő és a forgástengely távolsága k.

Amennyiben a forgó testre külső erő hat, az impulzusmomentum megváltozhat. Ez a változás azonban nemcsak az erő nagyságától, hanem az erőnek a forgástengelyhez viszonyított helyzetétől, az attól mért távolságtól is függ. Az erő nagyságának és a forgástengelytől mért távolságának szorzata a forgatónyomaték (5.10. ábra). A forgatónyomaték hatására változik meg a forgó test impulzusmomentuma. Mind a forgatónyomaték, mind az impulzusmomentum vektormennyiség, amelyek a forgástengely irányába mutatnak.