13.4. A numerikus előrejelzés alapja – a légkör kormányzó egyenletei

A légkör pillanatnyi és előrejelzett állapotát fizikai törvények matematikai formába öntött egyenleteivel, az ún. hidro-termodinamikai egyenletrendszerrel adjuk meg. Ennek a prognosztikus egyenletrendszernek a segítségével, amennyiben ismerjük az időjárási elemek adott időpontban felvett értékeit, meghatározható azok jövőbeli értéke. A meghatározandó állapothatározók a szélsebesség komponensei, a hőmérséklet, a nedvesség és a légnyomás.

Az egyenletrendszer első egyenlete Newton második törvénye, mely azt írja le, hogy egy test mozgását a rá ható erők eredője határozza meg (lásd 5. fejezet). A mozgásegyenlet három egyenletből áll, hiszen a légköri mozgások háromdimenziósak. Így ezeket felbonthatjuk x, y és z irányú komponensekre. A mozgásrendszerek leírásánál az x irány Kelet, az y Észak, a z pedig a zenit (a sík felszínre merőleges, függőleges irány) felé mutat. Az egyes irányokba eső komponensek eredője határozza meg végül a tényleges szélirányt. Az energia megmaradását az ún. termodinamikai egyenlet, a tömegmegmaradást pedig a kontinuitási egyenlet fejezi ki. Az egyenletrendszert az ideális gáz egyenlete teszi teljessé.

 

Időjárás-előrejelző modell horizontális és vertikális rácsfelbontása

13.4. ábra: Időjárás-előrejelző modell horizontális és vertikális rácsfelbontása. A korlátos tartományú modellek kisebb területre, de finomabb felbontásban készítenek előrejelzést, mint a globális modellek (a). A vertikális szintek száma az Országos Meteorológiai Szolgálatnál alkalmazott ALADIN előrejelzési modell esetén jelenleg 60 (b). A vertikális felbontás a felszín felé közeledve sűrűsödik, mivel itt nagyobb a meteorológiai állapothatározók változékonysága. A modellek a domborzat hatását is figyelembe veszik.

A fenti hat egyenlet az időjárás-előrejelzés alapja. Ezeket az egyenleteket kell megoldani minden egyes rácspontra (13.4a. ábra, 13.5. ábra) az egész légkörre (GCM – General Circulation Model), vagy annak egy tartományára (LAM – Limited Area Model). A rácspontok számát a rácstávolság és a vertikális szintek száma határozza meg. A szintek általában sűrűbben helyezkednek el a légkör alsó tartományában, ahol az időjárási folyamatok jelentős része végbemegy. A horizontális felbontás a modellekben általában néhány 10 km-től néhány 100 km-ig terjed, a szintek száma pedig néhányszor 10 (13.4b. ábra).

 

A légkört lefedő rácshálózat térbeli képe

13.5. ábra: A légkört lefedő rácshálózat térbeli képe

A probléma nagyságát illusztrálandó tekintsük a következő példát: Egy 60 km-es horizontális felbontású modell esetén a teljes földfelszínt több mint 134 000 rácspont határoz meg. Mindez 31 szintre számolva már kb. 4 millió rácspontot tesz ki, mely a hat egyenlet alkalmazásával 24 millió ismeretlent és 24 millió egyenletet jelent. Ezt megoldva megkapjuk az eredményt a következő időlépcsőre, ami általában 4 perc. Ha hosszabb időlépcsőt választanánk, gyorsan növekvő hibák (ún. nemlineáris instabilitások) lépnének fel az előrejelzésben, s az eredmény már egy napra is használhatatlan lenne. Így egynapi előrejelzéshez a 24 millió egyenletet 4 perces időlépcső alkalmazásával 360-szor kell megoldani.

Ezt a nagymennyiségű számítást csak igen gyors szuperszámítógépek segítségével lehet elvégezni a rendelkezésre álló idő alatt. Ahhoz, hogy az előrejelzés időben elkészüljön, jóval gyorsabban kell számolni, mint ahogy a valós időjárási folyamatok alakulnak. Richardson 1922-ben egyrészt e feltételnek nem tudott eleget tenni, másrészt a kellő elméleti ismeretek híján nem tudta, hogy a választott rácstávolság és az időlépcső között meghatározott aránynak kell lennie ahhoz, hogy a kormányzó egyenletek véges különbséges közelítése reális eredményt szolgáltasson.