15.3. Az állapotegyenlet

15.3.1. Elméleti háttér

Az egy molnyi ideális gáz állapotegyenlete:

A tömegegységnyi (1 kg) ideális gáz állapotegyenlete ahol R* az univerzális gázállandó, értéke 8,314 J mol–1 K–1, R a specifikus gázállandó [J kg–1 K–1], p a nyomás [Pa], T a hőmérséklet [K], α a specifikus térfogat [mkg–1], V a moltérfogat [mmol–1]. Az univerzális (R*) és a specifikus (R) gázállandó közötti kapcsolat:

ahol M a moltömeg [kg mol–1]. A száraz levegő gázállandója , a vízgőzé .

Dalton törvénye: adott térfogatban lévő gázok parciális nyomása összeadódik

ahol pi, az N komponensből álló gázkeverék i-edik gázösszetevőjének parciális nyomása.

A légköri gázok koncentrációjának megadásakor gyakran használjuk a ppm (parts per million) és a ppb (parts per billion) egységeket. A ppm jelentése egymilliomod rész, a ppb jelentése egymilliárdod rész. Tehát: 1 ppm annak a gáznak a koncentrációja, amelyből 1 cm3-nyi található 1 m3 levegőben. 1 ppb annak a gáznak a koncentrációja, amelyből 1 mm3-nyi található 1 m3 levegőben. A ppm és a ppb érték független a levegő hőmérsékletétől és nyomásától. Használjuk még a ppt elnevezést is, mégpedig kétféle értelemben Ha „parts per trillion” értelemben alkalmazzuk, akkor az azt jelenti, hogy 1 ppt annak a gáznak a koncentrációja, amelyből 10–3 mm3-nyi található 1 m3 levegőben. Itt ppt jelentése egytrilliárdod rész. Ha „part per thousand” értelemben használjuk, pl. vízgőz esetén, akkor 1 ppt annak a gáznak a koncentrációja, amelyből 1 dm3 (1 liter) található 1 m3 levegőben. Itt a ppt jelentése az ezred rész.

15.3.2. Feladatok

15.3.1. feladat: A száraz levegő molekulatömege 28,96 g mol–1, a vízgőzé 18 g mol–1 , az ózoné (O3) 48 g mol–1, a szén-dioxidé (CO2) 44 g mol–1. Adjuk meg ezeknek a gázoknak a specifikus gázállandóját!

15.3.2. feladat: Adjuk meg a száraz levegő sűrűségét, ha hőmérséklete 20 °C, nyomása 1020 hPa! Számítsuk ki a specifikus térfogatát is!

15.3.3. feladat: A levegő nyomása Kékestetőn 890 hPa, specifikus térfogata 0,95 m3 kg–1. Adjuk meg a hőmérsékletét! (Most és a további feladatokban is száraz levegővel számoljunk!)

15.3.4. feladat: A levegő állandó nyomáson 1 °C-kal felmelegszik, térfogata az eredetinek 1/300-ad részével növekszik. Határozzuk meg a kezdeti hőmérsékletet!

15.3..5. feladat: Állandó nyomáson (1000 hPa) a levegő hőmérséklete 15 °C-ról 25 °C-ra emelkedik, Adjuk meg a kezdeti sűrűségét és a folyamat során bekövetkező sűrűségváltozást!

15.3.6. feladat: Hány kg levegő szorul ki egy 4 × 5 × 3 m3-es szobából, ha a levegő hőmérséklete 10 °C-ról 20 °C-ra emelkedik. Természetesen feltételezhetjük, hogy a folyamat izobárikus. A légnyomás 1000 hPa.

15.3.7. feladat: A levegő nyomása 980 hPa, hőmérséklete –5 °C. A szén-dioxid térfogati koncentrációja 0,04 térfogat%. Adjuk meg a CO2 koncentrációját ppm-ben, illetve g m–3 egységben. Mennyi a levegő moltérfogata? Hány mol CO2 van 1 m3 levegőben?

15.3.8. feladat: Hány μg m–3, illetve mg m–3 az ózon, illetve a szén-dioxid sűrűsége, ha koncentrációjuk rendre 40 ppb, illetve 371 ppm. A légnyomás és a hőmérséklet értékek legyenek rendre: 1040 hPa, 30 °C; 1040 hPa, –20 °C; 970 hPa, 30 °C; 970 hPa, –20 °C. Lényeges-e az átszámításnál a nyomás és a hőmérséklet ismerete?

15.3.3. Feladatok megoldásai

15.3.1. feladat megoldása:

 A specifikus gázállandó alakja: , ahol M dimenziója [kg mol–1]. A specifikus gázállandók értékei rendre:

Rd = 287,1 J kg–1 K–1, Rv = 461,9 J kg–1 K–1, RO3 = 173,2 J kg–1 K–1, RCO2 = 189,0 J kg–1 K–1.

15.3.2. feladat megoldása:

Az univerzális gáztörvényt alkalmazzuk. A számításnál Rd = 287,1 J kg–1 K–1 értékkel dolgozzunk. Ne feledjük el, hogy a nyomást Pa-ban a hőmérsékletet K-ben kell megadni. A száraz levegő sűrűsége ρ = 1,212 kg m–3, specifikus térfogata α = 0,825 m3 kg–1.

15.3.3. feladat megoldása:

A léghőmérséklet 21,4 °C.

15.3.4. feladat megoldása:

Gay-Lussac első törvénye (1802) alapján, állandó nyomáson , így . Az egyenlet rendezése után a keresett hőmérséklet: T0 = 300 K = 26,85 °C.

15.3.5. feladat megoldása:

Az állapotegyenlet alapján a levegő sűrűsége a kiindulási állapotban ρ = 1,209 kg m–3. A folyamat során a sűrűség Δρ = 0,04 kg m–3-rel csökkent. Ez 3,3%-os csökkenés.

15.3.6. feladat megoldása:

A hőmérséklet emelkedése állandó nyomáson történik:

ahol az 1-es index a kezdeti, a 2-es pedig a végállapotot jelöli; V1 a szoba térfogata. A kiszoruló 20 °C-os levegő térfogata:

A szobából Δ= 2119 l 20 °C-os hőmérsékletű levegő „szorulna ki”. Ennek specifikus térfogata: 0,812 mkg-1 , sűrűsége: 1,232 kg m–3. A kiszoruló levegő tömege: ~2,6 kg.

15.3.7. feladat megoldása:

1 térfogat% megfelel 10ppm-es koncentrációnak, így a szén-dioxid koncentráció 400 ppm. Az adott gázkomponens parciális nyomása és a teljes nyomás aránya nem más, mint a térfogat%, hiszen ideális gázról van szó. A CO2 parciális nyomása . Az univerzális gáztörvény alapján:

A levegő moltérfogatát az univerzális gáztörvény alapján számíthatjuk:

A CO2 moltömege 44 g mol–1, 1 m3 levegőben 17,7 mmol CO2 van.

15.3.8. feladat megoldása:

Elsőként számítsuk ki az ózon sűrűségét. Legyen a nyomás 104000 Pa, a hőmérséklet = 303,16 K, a koncentráció pedig 40 ppb. Dalton törvénye alapján a levegőben levő ózon parciális nyomása = 4,16 10–3 Pa.

Az univerzális gáztörvény szerint az ózon sűrűsége:

ami behelyettesítés után:  = 79,2 10–9 kg m–3 = 79,2 μg m–3. Az átszámítás tehát függ a levegő hőmérsékletétől és nyomásától. E függés elhanyagolása jelentős (10% feletti) hibához vezethet. Különböző nyomás és hőmérséklet esetén az O3 és a CO2 sűrűségértékeit az 15.3. táblázat tartalmazza.

15.3. táblázat. Az ózon (40 ppb) és a szén-dioxid (371 ppm) sűrűségfüggése a hőmérséklettől és a nyomástól adott térfogat% (ppm illetve ppb) mellett.

p [Pa]

T [K]

ρO3 [μg m–3]

ρCO2 [mg m–3]

104 000

303,16

79,2

673,8

104 000

253,16

94,9

806,8

97 000

303,16

73,9

628,4

97 000

253,16

88,5

752,5