15.6. A sztatikus légkör

15.6.1. Elméleti háttér

A sztatika alapegyenlete a nyomási gradiens erő és a nehézségi gyorsulási erő egyenlőségét fejezi ki hidrosztatikus légkörben. Az ilyen sztatikus légkörben nincsenek vertikális gyorsulások.

Az egységnyi alapterületű légrészecskére írjuk fel az erőegyensúlyt! A vastagságú légrész felületegységére ható nyomási gradiens erő és a nehézségi gyorsulási erő tart egyensúlyt.

Ha a vertikális koordinátának a z magasságot választjuk:

illetve

Véges vastagságú légrétegekre felírva:

illetve

Gyakorlati feladatokban a levegő sűrűségének meghatározásakor a virtuális hőmérséklettel (Tv) számolunk, így térünk át a nedves levegőről a száraz levegőre vonatkozó gázegyenlet alkalmazására.

A gravitációs erőtérben könnyen értelmezhető a tömegegységnyi légrész potenciális energiája. Ehhez azonban ki kell jelölni egy nulla nívófelületet – az átlagos tengerszint feletti magasságot – amihez képest pozitívnak, illetve „negatívnak” tekintjük a légrész potenciális energiáját.

A geopotenciál Φ nem más, mint a tömegegységnyi légrész potenciális energiája:

ahol z= 0 a tengerszinti magasságot jelenti. A meteorológiai gyakorlatban általában eltekintünk a nehézségi gyorsulás magasság szerinti változásától, feltételezhetjük, hogy g0 az adott szélességi körre jellemző nehézségi gyorsulás. A szinoptikus gyakorlatban a geopotenciális métert [gpm] használjuk, vagyis a geopotenciál értékét a nehézségi gyorsulás közepes értékével normáljuk, s általában H-val jelöljük.

Az állapotegyenlet segítségével tovább alakíthatjuk a sztatika alapegyenletét.

 

ahol a nedves levegő specifikus gázállandója. Ha egy légréteget vizsgálunk, akkor a nyomás logaritmikus változása és a magasságváltozás között kapunk összefüggést.

vagy

A szinoptikus meteorológiában izobárikus koordináta-rendszert használunk. Azt kérdezzük, hogy az adott nyomási szint milyen magasan van, vagy mekkora a geopotenciálja, milyen a szélsebesség és szélirány, a harmatpont stb. Ilyen nyomási rendszerben a sztatika alapegyenlete arra a kérdésre keres választ, hogy egységnyi nyomásváltozásra mekkora magasságváltozás jut, míg a z-rendszerben az egységnyi magasságváltozásra jutó nyomásváltozást kérdeztük.

illetve

Ha a hőmérséklet helyett a virtuális hőmérsékletet használjuk, akkor a nedves levegő specifikus gázállandója helyett a száraz levegő gázállandójával kell számolnunk, pl:

ahol a , a vizsgált réteg átlagos hőmérséklete, illetve átlagos virtuális hőmérséklete.

15.6.2. Feladatok

15.6.1. feladat: A barometrikus magassági lépcső megadja az 1 hPa-os (1 mbar-os) nyomásváltozásra jutó magasságváltozást. Adjuk meg ezt az értéket a 45° szélességi körön (g = 9,81 m s-2), ha a nyomás 1000 hPa, a hőmérséklet t = 0 °C! Száraz levegő feltételezésével számoljunk.

15.6.2. feladat: Adjuk meg az 1000 hPa-os szint és a 850 hPa-os szint magasságkülönbségét, ha a réteg átlaghőmérséklete a) –10 °C, b) 20 °C. Száraz levegő feltételezésével számoljunk. A nehézségi gyorsulás értéke

15.6.3. feladat: Az Eötvös Loránd Tudományegyetem lágymányosi épületének műszerterasza 43 m magasan van. A légoszlop össztömegének hány százaléka van alattunk, ha itt dolgozunk. A barometrikus magassági lépcső legyen 8,5 m hPa–1.

15.6.4. feladat: A trópusokon az 1000 hPa és az 500 hPa-os réteg átlagos virtuális hőmérséklete 5 °C. Adjuk meg az 1000–500 hPa-os réteg vastagságát. Mekkora lenne ez az érték, ha az –20 °C lenne, mint pl. nálunk egy téli helyzetben. (A számításoknál Kelvin fokot használjunk!)

15.6.5. feladat: Az alsó 1200 m-es légrétegben az átlaghőmérséklet legyen 25 °C. A felszíni nyomás 990 hPa, a hőmérsékleti gradiens 0,6 °C/100 m. Adjuk meg a nyomást a réteg tetején, illetve a hőmérsékletet a felszínen és a réteg tetején!

15.6.6. feladat: A nehézségi gyorsulás felszínfeletti magasság és szélességi körök (φ) szerinti változását a Helmert-formula adja meg:

g(φ, z) ≈ 9,806 [1 – 2,6 10–3 cos(2φ)] [1 – 3,14 10–7 z]

Hány százalékkal változik a nehézségi gyorsulás az alsó 30 km-es rétegben?

15.6.7. feladat: A részecske 16 km magasan van. Mekkora a geopotenciál értéke az egyenlítőn a 45° és a 90° szélességi körön? Az egyszerűség kedvéért a tengerszinti nehézségi gyorsulással számoljunk a Helmert-formula felhasználásával (VI.6. feladat). Mit kapnánk eredményül, ha a 8 km-es szintre vonatkozó nehézségi gyorsulással dolgoznánk?

15.6.3. A feladatok megoldásai

15.6.1. feladat megoldása:

A sztatika alapegyenletének felhasználásával: . Behelyettesítés után az 1 hPa-os nyomáscsökkenésre jutó magasságváltozás:

a) ,

b) .

Gyakorlati feladatokban a felszínközeli hőmérséklet függvényében a nyomási lépcsőt 8–8,5 m/hPa közötti értékkel vehetjük figyelembe.

15.6.2. feladat megoldása:

Az előző feladatban alkalmazott összefüggés alapján, kihasználva, hogy

:

ahol p2 és p1 a légnyomás a réteg felső és alsó határán. Behelyettesítés után az 1000 hPa-os szint és a 850 hPa-os szint magasságkülönbsége ()

a) .

b) .

A rétegvastagság egyenesen arányos az átlaghőmérséklettel. A számítások során a hőmérséklet dimenziója K.

15.6.3. feladat megoldása:

A barometrikus magassági lépcső szerint 43 m-es magasságváltozásra ~5,1 hPa-os nyomásváltozás jut. Az átlagos tengerszintre vonatkozó légnyomás 1013,25 hPa. Tehát a légoszlop teljes tömegének hozzávetőlegesen 0,5%-át hagytuk magunk alatt. Megjegyezzük, hogy ugyanennyi levegő van az 5 hPa-os nyomási szint és a légkör felső határa (vagyis a világűr között). Az 5 hPa-os nyomási szint magassága hozzávetőlegesen 36 km. Ennyire van összenyomva a légkörünk.

15.6.4. feladat megoldása:

Az előző feladat megoldása alapján:

a.) ,

b.) .

15.6.5. feladat megoldása:

A hőmérsékleti gradiens állandó. A réteg átlaghőmérséklete 25 °C, így a réteg alján (p1z1) a hőmérséklet 28,6 °C, a réteg tetején (p2z2) 21,4 °C. A réteg átlaghőmérsékletének () az ismeretében a nyomás a réteg felső határán:

ahol Δz = z2 – z1 a rétegvastagság. A számítások elvégzése után a légréteg felső határán a becsült nyomás: . A rétegre jellemző átlagos barometrikus nyomási lépcső: 10,6 m hPa–1.

15.6.6. feladat megoldása:

Dolgozzunk a φ = 45° szélességi körön: g (φ = 45°, z = 0 m) = 9,806 m s–2, és g (φ = 45°, z = 30000 m) = 9,806(1 – 3,14 · 10–7 · 3 · 104) = 9,71 m s–2. Hozzávetőlegesen 1%-kal csökken a nehézségi gyorsulás az alsó 30 km-es rétegben.

15.6.7. feladat megoldása:

A geopotenciál értéke állandó nehézségi gyorsulással számolva:

A képletben alkalmazott nehézségi gyorsulást a Helmert-formula alapján határozzuk meg. Eredményeinket a 15.5. táblázatban közöljük. Nézzük például a 45° szélességi körön a tengerszintre és a 8 km-es szintre vonatkozó nehézségi gyorsulásértékét. Ezek között akkora az eltérés, mint a tengerszinten a 45° szélességi körön, illetve az egyenlítőn mért g nehézségi gyorsulás értéke között. Ugyanolyan tengerszint feletti magasságban az Egyenlítőtől a sarkok fele haladva nő a nehézségi gyorsulás, így az egységnyi tömegű légrész potenciális energiája, vagyis geopotenciálja is.

15.5. táblázat: A 16 km-es tengerszint feletti magasság geopotenciál értéke különböző szélességi körökön

Szélességi kör (φ)

g (zref = 0 m)

m s–2

Φ (16 km)

m2 s–2

g (zref = 8 km)

m s–2

Φ (16 km)

m2 s–2

9,781

1,565 · 105

9,756

1,561 · 105

45°

9,806

1,569 · 105

9,781

1,565 · 105

90°

9,831

1,573 · 105

9,806

1,573 · 105