15.7. Egyensúlyi áramlások

15.7.1. Elméleti háttér

A Le Chatelier (1850–1936) elv szerint azok a fizikai rendszerek, amelyekre egyidejűleg több erő hat, általában olyan állapotok elérésére törekszenek, amelyekben a hatóerők egymással egyensúlyt tartanak. A légkörben ilyen módon külön vizsgálhatók a vertikális és a horizontális mozgások.

A horizontális (x, y) síkban három erő alakítja a légköri folyamatokat. Ezek a nyomáskülönbségből származó nyomási gradiens erő (Fgrad), a Föld forgásából származó Coriolis-erő (Fcor) és a súrlódási erő (Fs), ami a planetáris határrétegben a felszín mechanikus és termikus kényszerhatásának a következtében alakul ki. A felemelkedő örvények gyorsítani, míg a lesüllyedő örvények lassítani szeretnék az áramlást.

Nézzük meg a tömegegységre ható erőket az (x, y) síkban adott z magasságban, pl. a szinoptikus térképen, ahol a tengerszintre redukált nyomási értékeket látjuk! A nagyskálájú (1000 km-es karakterisztikus méretű) folyamatokkal foglalkozunk, ahol a légkör hidrosztatikus, s a vertikális sebesség elhanyagolható a horizontális mozgásokkal szemben.

15.7.1.1. A horizontális nyomási erő

A horizontális nyomási gradiens erő a következőképpen írható fel:

A nyomási gradiens erő egyes komponensei:

Ha a deriváltak helyett véges különbségekkel dolgozunk, vagyis az x és y tengely irányú , megváltozásra jutó nyomásváltozást vizsgáljuk, akkor:

Ha a legnagyobb nyomásváltozás (a nyomási gradiens) irányába (n) történő nyomásváltozást tekintjük, akkor a nyomási gradiens erő nagysága:

illetve a maximális nyomásváltozás irányába történő megváltozásra jutó nyomásváltozás alapján:

Megjegyezzük, hogy a meteorológiában használt Descartes-féle koordináta-rendszerben az x tengely keletre, az y tengely északra, míg a z tengely a helyi függőleges irányba mutat.

15.7.1.2. A Coriolis-erő

A Föld forgásából származó Coriolis-erő a mozgó testre hat. Merőleges mind a sebességre (Vh), mind a Föld forgás szögsebesség vektorára (Ω). Az Egyenlítőnél már nem lesz a Coriolis-erőnek (xy) síkba eső összetevője, hiszen az Egyenlítő érintő síkja párhuzamos a Föld forgás szögsebesség vektorával. Itt a Coriolis-erőnek csak függőleges komponense lehet, ami a nehézségi erőhöz képest elhanyagolható. A Coriolis-erő hiánya indokolja, hogy az Egyenlítő 5o-os körzetében nem alakulnak ki trópusi ciklonok. Mivel nincs, ami körpályára kényszerítse a légrészt. Nincsenek a trópusi területeken a nálunk megszokott ciklonok és anticiklonok sem.

A Coriolis-erő alakja:

A Coriolis-erő x és y komponense:

ahol u és v a horizontális szélsebesség x és y irányú komponense, a Coriolis-paraméter, a Földforgás szögsebessége. A Coriolis-erő nagysága arányos a horizontális sebességgel (Vh):

15.7.1.3. A súrlódási erő

A turbulens örvények keltette súrlódási erő (Fs) legegyszerűbb értelmezése a mechanikai analógián alapul: értéke arányos a szélsebességgel, iránya ellentétes azzal.

A súrlódási-erő x és y komponense:

ahol a k súrlódási együttható értéke szárazföldek felett , tengerek és óceánok felett . A súrlódási rétegben a szélsebességnek lesz egy olyan komponense, ami a nagyobb nyomású hely felől a kisebb nyomású hely felé mutat. Óceánok felett a szél 10–15°-kal tér el az izobároktól, míg szárazföldek felett 30–50°-kal. A súrlódási erő nagysága szintén arányos a horizontális sebességgel (Vh):

Megjegyezzük, hogy a pontosabb számításoknál, a meteorológiai gyakorlatban a súrlódási erő a szélnyírás magasságszerinti változásával arányos.

15.7.1.4. Kiegészítő megjegyzések

A légkör különböző tartományaiban (földrajzi szélesség, illetve magasság szerint) más-más erők dominálnak, míg egyes erők elhanyagolhatók. A 15. 6. táblázatban az alacsony, illetve a közepes és a magas szélességeken a planetáris határrétegben (vagy súrlódási rétegben) és a szabad légkörben ható erőket mutatjuk be.

15.6. táblázat. A légkör különböző tartományaiban (földrajzi övezetesség és magasság szerint felosztva) domináló erőhatások

   

alacsony földrajzi szélességek

közepes és magas földrajzi szélességek

szabad légkör

- nyomási gradiens erő

   

- nyomási gradiens erő

- Coriolis-erő

planetáris határréteg

- nyomási gradiens erő

- súrlódási erő

- nyomási gradiens erő,

- Coriolis-erő,

- súrlódási erő

Az erők eredőjeként kialakuló egyensúlyi mozgások közül a geosztrófikus, a gradiens a ciklosztrófikus és a súrlódási áramlással foglalkozunk a felszíni szinoptikus térképek, illetve a magassági abszolút topográfiai (AT) térképek adatai alapján. Megjegyezzük, hogy az AT térképek egy adott nyomási szinten, tehát nyomási (p) rendszerben írják le a légköri mozgásokat. Ebben a koordináta-rendszerben a nyomási gradiens erőt a geopotenciál gradiense alapján adjuk meg:

ami komponensenként kiírva:

A Coriolis-erő és a súrlódási erő alakja nem változik a nyomási rendszerben.

15.7.1.5. A geosztrófikus szél

A geosztrófikus áramlás az alacsony és a magas szélességek áramlási rendszere a szabad légkörben. Két erő – a nyomási gradiens erő és a Coriolis-erő egyensúlya alakítja ki (15.4. ábra). Az áramlás párhuzamos az izobárokkal (a nyomási rendszerben az azonos geopotenciál vonalakkal, az izohipszákkal). A geosztrófikus szélegyenlet komponensenként kiírva:

A természetes koordináta-rendszerben pedig

 

Az izobárokkal párhuzamos geosztrófikus szél

15.4. ábra: Az izobárokkal párhuzamos geosztrófikus szél. Nézzük meg a geosztrófikus szél x és y irányú összetevőjét. A természetes koordináta-rendszer egységvektorai az áramlás irányába mutató s és az arra merőleges (a nyomásemelkedés irányába mutató) n.

15.7.1.6. A gradiens szél

A mérsékelt és a magas szélességek jellegzetes képződményei az 1000 km-es karakterisztikus mérettel jellemzett ciklonok és anticiklonok. Két erő, a nyomási gradiens erő és a Coriolis-erő alakítja a dinamikájukat. E két erő eredője a centripetális erő, ami körpályán tartja a légrészecskéket. Az északi féltekén (ahol a Coriolis-erő jobbra térít) a ciklonok áramlási rendszere az óramutató járásával ellentétes, az anticiklonoké azzal megegyezik. Modellünkben kör alakú izobárokat feltételezünk (a gyakorlatban ellipszisek), s egyenletes körmozgás feltételezésével élünk (eltekintünk a Coriolis-erő és a sűrűség változásától).

Ciklonális rendszerben teljesül, hogy:

ahol Vgrad a gradiens szél, ami az izobárok érintőjének az irányába mutat, r a középponttól vett távolság. A másodfokú egyenlet két megoldása közül a fizikailag megfelelő:

Ha nincs nyomási gradiens erő, természetesen a gradiens szél is nulla.

Anticiklonban a centripetális erő alakja:

ahol Vgrad a gradiens szél, ami az izobárok érintőjének az irányába mutat, r a középponttól vett távolság. A másodfokú egyenlet két megoldása közül a fizikailag megfelelő:

Anticiklonban nem alakulhatnak ki tetszőleges szélsebességek. A Coriolis-erő nem tud pályán tartani tetszőlegesen nagy nyomási gradiens erővel rendelkező részecskét. A szél ilyenkor átfúj az izobárokon, leépítve a nyomási mezőt. Ha nincs nyomási gradiens erő, természetesen a gradiens szél itt is nulla.

15.7.1.7. Ciklosztrófikus áramlás

Ezt az idealizált köralakú mozgást a nyomási gradiens erő tartja fenn. A mérsékelt és az alacsony szélességek nagy szélsebességekkel rendelkező mezo- és konvektív skálájú objektumait jellemzik (trópusi ciklonok, tornádók). E rendszerekben is hat a Coriolis-erő, s mégha nagy is, elhanyagolható a nyomási gradiens erőhöz képest. Elméletileg az ilyen rendszerek mind ciklonális, mind anticiklonális forgásirányúak lehetnek. Az esetek túlnyomó többségében – köszönhető a Coriolis-erőnek – a forgásirány azonban ciklonális.

A centripetális erőt a nyomási gradiens erő adja:

15.7.1.8. Súrlódásos áramlás

A súrlódásos áramlás átfúj az izobárokon. Ez a nyomási mező szerkezetének átrétegződését jelenti, illetve a harmadik dimenzióban fel- vagy leáramlást generál.

A nyomási gradiens erő a Coriolis-erő és a súrlódási erő egyensúlyát komponensenként írjuk fel (Guldberg–Mohn-egyenlet):

A két egyenlet megoldásával kapjuk a Vs súrlódási sebesség nagyságát:

ahol k a súrlódási együttható. Könnyen megadható a szélsebesség és az izobárok hajlásszöge is:

15.7.2. Feladatok

15.7.1. feladat: Adjuk meg a Coriolis-paraméter értékét a 15°, 30°, 45°, 60° és 90° földrajzi szélességeken.

15.7.2. feladat: Nagyskálájú légköri folyamatok esetén a karakterisztikus horizontális méret 1000 km, erre a szakaszra jutó nyomásváltozás 10 hPa. A sűrűség nagyságrendje 1 kg m–3. Becsüljük meg a nyomási gradiens erő nagyságrendjét. Geosztrófikus egyensúly esetén adjunk becslést a horizontális szélsebességre is. Legyen φ = 45°!

15.7.3. feladat: Számítsuk ki a geoszrtofikus szélsebességet, ha a legnagyobb nyomásváltozás irányába haladva 400 km-es távolságra 5 hPa-os nyomásváltozás jut. A 60. szélességi fokon vagyunk, a levegő sűrűsége legyen 1,2 kg m–3.

15.7.4. feladat: Az 500 hPa-os szinten a geopotenciál gradiense:

 

Adjuk meg a geosztrófikus szélsebességet. A Coriolis paraméter értéke: f = 10–4 s–1. A geopotenciál SI egységben adott értéke:

15.7.5. feladat: Egy ciklon belsejében 1000 hPa a légnyomás. A középponttól távolodva 300 kiliméterenként 5 hPa-t növekszik a légnyomás. Számoljuk ki a ciklonban a szélsebességet a ciklon középpontjától 600 km-re. Legyen φ = 45°, a levegő sűrűsége pedig 1,1 kg m–3!

15.7.6. feladat: A centrumtól 500 km-re kifelé haladva a nyomás 100 km-enként 1 hPa-t változik. Adjuk meg a szélsebességet ciklon és anticiklon esetében. Legyen φ = 40°, a levegő sűrűsége pedig 1 kg m–3!

15.7.7. feladat: Számítsuk ki egy déli félgömbön levő ciklonban a szélsebességet. A ciklon középpontjában 985 hPa a légnyomás, a nyomásváltozás 5 hPa/600 km. Milyen irányban fúj a szél egy, a ciklon középpontól keletre eső pontban? Legyen φ = 50°, a levegő sűrűsége pedig 1,15 kg m–3!

15.7.8. feladat: A tornádótölcsér sugara 100 m. A nyomásváltozás a tölcsér széle és közepe között 2 hPa. A levegő sűrűségét tekintsük 1 kg m–3-nek. Adjuk meg a ciklosztrófikus szélsebességet a tölcsér szélén!

15.7.9. feladat: A trópusi ciklon középpontjában a légnyomás 930 hPa, a centrumtól 300 km-re 1010 hPa. Mekkora a ciklosztrófikus szél a középponttól 100, 200 és 300 km-es távolságra? A levegő sűrűsége az egyszerűség kedvéért legyen 1 kg m–3. Reális a becslés?

15.7.10. feladat: Adjunk becslést a súrlódási együtthatóra a Guldberg–Mohn-egyenlet alapján, ha a 45° szélességi körön a szárazföld felett a szélvektor 40°-os szöget zár be az izobárokkal, míg a tenger felett 15°-ot.

15.7.11. feladat: Rajzoljuk fel a súrlódásos áramlás sematikus képét a déli féltekén ciklonban és anticiklonban! Rajzoljuk fel a légrészre ható erőket is!

15.7.12. feladat: A ciklonban a súrlódás összeáramlást (konvergenciát) okoz. Milyen vertikális mozgás rendelhető ehhez: feláramlás vagy leáramlás?

15.7.13. feladat: Adjuk meg a súrlódásos áramlás sebességét, ha a súrlódási együttható és a Coriolis-paraméter azonos nagyságú. A maximális nyomásváltozás 3 hPa 250 km-enként. Az 50° szélességi körön vagyunk.

15.7.3. A feladatok megoldásai

15.7.1. feladat megoldása: 

A Coriolis-paraméter alakja: f = 2 Ω sin φ. A Föld 23 óra 56 perc 4 s alatt tesz meg egy fordulatot, ami TF = 86.164 s. A szögsebesség értéke:

Az egyes szélességi köröket, azok szinuszát és a Coriolis-paraméter értékeit a 15.7. táblázat tartalmazza.

15.7. Táblázat. A Coriolis-paraméter (f) értéke különböző földrajzi szélességeken

Földrajzi szélesség (φ)

sin φ

f

15o

0,259

3,78 · 10–5

30o

0,5

7,29 · 10–5

45o

0,707

1,03 · 10–4

60o

0,866

1,27 · 10–4

90o

1

1,46 · 10–4

15.7.2. feladat megoldása: 

A geosztrófikus szél egyenlete:

15.7.3. feladat megoldása: 

 

15.7.4. feladat megoldása: 

A feladatot a nyomási rendszerben felírt geosztrófikus szélegyenlet felhasználásával oldjuk meg. A szélsebesség x (keleti irányú) és y (északi irányú) összetevője:

 

Az 500 hPa-os szinten a geosztrófikus szél sebessége:

15.7.5. feladat megoldása: 

A ciklonban kialakuló gradiens szél:

Megjegyezzük, hogy ugyanakkora nyomási gradiens erő esetén ciklonban kisebb a szélsebesség, mint a párhuzamos izobárokkal jellemzett geosztrófikus szél. A mi esetünkben a geoszrtofikus szél egyenlete:

15.7.6. feladat megoldása: 

A 40. szélességi körön a Coriolis-paraméter értéke:

f = 2 Ωsin φ = 2 · 7,292 ·105 · sin 40° = 9,37 · 10–5.

A gradiens szél értéke ciklonban:

 

Anticiklon esetén a szélegyenlet:

 

Ugyanolyan nyomási gradiens erő mellett meglepően nagy különbség van a ciklonban és az anticiklonban kialakuló szélsebesség között. A nagyobb szelet az anticiklonban tapasztaljuk. Ez nem mond ellent annak, hogy a ciklonban tetszőleges szélsebességek kialakulhatnak, míg anticiklonban nem lehetnek tetszőleges nagy szelek. Nagy nyomási gradiens esetén az anticiklonban a szél átfúj az izobárokon, leépíti azokat. Matematikai szempontból azt mondjuk, hogy ilyenkor nincs valós megoldása az anticiklonális szélegyenletnek.

15.7.7. feladat megoldása: 

A déli féltekén a szél az óramutató járásával megegyezően fúj, a Coriolis-erő balra térít. A ciklon középpontjától keletre eső pontban tehát déli szél fúj. Az 50° déli szélességen a Coriolis-paraméter negatív értékű:

f = 2 Ω sin φ = 2 · 7,292 ·105 · sin (–50°)–1 = –1,12 · 10–4. A gradiens szélre felírt másodfokú egyenletben a Coriolis-erő nagysága: Fcor = –fVgrad, s így a gradiens szél nagysága:

15.7.8. feladat megoldása: 

A ciklosztrófikus szél egyenlete:

15.7.9. feladat megoldása: 

A nyomási gradiens értéke: . A ciklosztrófikus szél sebessége a centrumtól 100, 200 és 300 km-es távolságra rendre: 44,7 m s–1, 63,2 m s–1 és 77,4 m s–1.

Természetesen a trópusi ciklonban a centrumtól távolodva, néhány 100 km-es távolságban a nyomási gradiens kisebb, mint a szemfal térségében. A feladatban állandó nyomási gradienssel számoltunk. A valóságban a trópusi ciklon belsejében az oda számítottnál nagyobb sebességeket, míg a trópusi ciklon peremén a csökkenő nyomási gradiens miatt kisebb sebességeket kapunk az általunk becsültnél. Gondoljuk meg, ahogy a trópusi ciklon belesimul környezetébe.

15.7.10. feladat megoldása: 

A Guldberg–Mohn-egyenlet alapján a súrlódásos áramlás és a szabad légkörre jellemző geosztrófikus áramlás közötti α szög tangense . A súrlódási együttható értéke: , ami a szárazföld felett , tenger felett .

15.7. 11. feladat megoldása: 

A rajz elkészítésénél ne feledjük el, hogy a déli félgömbön a Coriolis-erő balra térít, s a súrlódásos áramlásnak mindig van egy olyan összetevője, ami a magasabb nyomási hely felől az alacsonyabb nyomási hely felé mutat.

15.7.12. feladat megoldása: 

Ha horizontális konvergencia (összeáramlás) van a felszín közelében, akkor ehhez a tömegmegmaradás értelmében a harmadik dimenzióban feláramlás tartozik.

15.7.13. feladat megoldása: 

A súrlódásos áramlás sebessége:

Az 50° szélességi körön a Coriolis-paraméter értéke: f = 1,12 · 10–4. Behelyettesítés után, kihasználva, hogy k = f és , Vs = 7,6 m s–1.