5.3. A hullámok fizikája

Korábban említettük, hogy a szél keltette hullámok fizikai szempontból kapilláris hullámok, más néven felületi feszültségi hullámok (ilyenek a hullám-fodrok), vagy külső, más néven felületi gravitációs hullámok lehetnek (minden más szél keltette hullám ilyen). Tulajdonképpen a méret növekedésével folytonos átmenet tapasztalható a két hullám-típus között, mint azt az alábbiakban látni fogjuk, tehát nyugodtan állíthatjuk, hogy a szél keltette hullámok az egészen kis mérettartományban a felületi feszültség által befolyásolt, egyébként „tiszta” külső gravitációs hullámok. A most következő okfejtésekben a bonyolult matematikai levezetésekre nem térünk ki, de azt feltételezzük, hogy az olvasó jártas a hullámmechanikai alapfogalmak értelmezésében. Két fogalmat azonban részletesebben leírunk, mivel a továbbiakban ezeknek kiemelkedő jelentőségük lesz:

Egy hullám fázissebességének, vagy terjedési sebességének (phase speed) nevezzük a

mennyiséget, ahol L – a hullámhossz, T – a periódusidő, ω = 2π/T – a körfrekvencia, végül k = 2π/L – a hullámszám. A fázissebesség egy adott hullám azonos oszcillációs fázisban levő pontjainak (pl. hullámcsúcsok) mozgási sebességét határozza meg.

Egy hullámcsoport (egymást követő hullámok együttese) csoportsebességének (group velocity) nevezzük a

mennyiséget, ahol a jelölések az előzőkkel megegyezők. A csoportsebesség az energia, vagy az információ terjedési sebessége a hullámcsoport mozgása közben. Lényegét a következőképpen interpretálhatjuk. Az függvény a frekvencia-egyenlet megoldása, amely meghatározza a körfrekvencia hullámhossztól való függését az adott hullámtípus esetében, és ezen keresztül a fázissebesség függését is. A következő alapesetek lehetségesek:

1. Ha a körfrekvencia egyenesen arányos a hullámszámmal, azaz, akkor a csoportsebesség független a hullámszámtól és éppen megegyezik a fázissebességgel a

egyenlőségek értelmében. Ekkor mindkét mennyiség állandó.

2. Ha a körfrekvencia a hullámszámnak az egyenes aránynál (lineáris függésnél) gyorsabban növő függvénye, azaz pl. , akkor a csoportsebesség nagyobb a fázissebességnél a

relációk értelmében. Ekkor mindkét mennyiség a hullámszámnak monoton növő függvénye.

3. Ha a körfrekvencia a hullámszámnak az egyenes aránynál (lineáris függésnél) lassabban növő függvénye, azaz pl. , akkor a csoportsebesség kisebb a fázissebességnél a

relációk értelmében. Ekkor mindkét mennyiség a hullámszámnak monoton csökkenő függvénye.

4. Ha a körfrekvencia nem függ a hullámszámtól (konstans), azaz , akkor a csoportsebesség eltűnik, a fázissebesség pedig fordítottan arányos a hullámszámmal a

relációk értelmében.

5. Ha a körfrekvencia a hullámszám monoton csökkenő függvénye, azaz pl. , akkor a csoportsebesség negatív értéket vesz fel a

relációk értelmében. Ekkor a csoportsebesség a hullámszámnak monoton növő, a fázissebesség pedig monoton csökkenő függvénye.

A fentiek fizikai interpretációja röviden a következő:

- Az 1. esetben a hullámok és az energia együtt terjed, az individuális hullámok nem változnak,

- A 2. esetben az energia gyorsabban terjed, mint a hullámok, az individuális hullámok – látszólag – a csoport előtt jelennek meg és áthaladva azon, mögötte elhalnak,

- A 3. esetben az energia lassabban terjed, mint a hullámok, az individuális hullámok – látszólag – a csoport mögött tűnnek fel és áthaladva azon, előtte elhalnak,

- A 4. esetben az energia nem terjed, a forrás csak hullámokat bocsát ki, energiát nem,

- Végül az 5. esetben az energia a forrás felé terjed a kibocsátott hullámok által,

5.3.1. Kapilláris-gravitációs hullám-átmenet

Először a kapilláris-gravitációs hullám-átmenetet tárgyaljuk. Mivel itt nagyon kis (legfeljebb néhány cm-es hullámhosszú) hullámokról beszélünk, nyugodtan feltételezhetjük, hogy a vízmélység végtelen nagy, vagy matematikai értelemben ahhoz tart.

Modellünk tehát végtelen mélységű összenyomhatatlan fizikai folyadék.

A „tiszta” kapilláris hullámok két közeg határfelületén létrejövő olyan hullámok, melyek dinamikáját egyedül a felületi feszültség határozza meg. A kapilláris hullámok igen kicsik, hullámhosszuk nem haladhatja meg a néhány mm-t. A kicsit nagyobb hullámok átmenetet képeznek a felületi gravitációs hullámok felé, és így elnevezésük kapilláris-gravitációs hullám. Ezek dinamikáját már a gravitáció és a folyadék tehetetlensége (inerciája) is befolyásolja a felületi feszültség mellett.

A tiszta kapilláris hullámok körfrekvenciáját a következő összefüggés (frekvencia-egyenlet, vagy terjedési egyenlet, dispersion relation) adja meg a hullámszám függvényében:

ahol σ – a felületi feszültség, ρ – a nagyobb sűrűségű, ρ' – a kisebb sűrűségű fizikai folyadék sűrűsége. Mivel esetünkben a tengervíz és a levegő határfelületéről van szó, és a levegő sűrűsége három nagyságrenddel kisebb a vízénél, ρ'~0. Innen a kapilláris hullámok fázissebességére a

képlet adódik. A terjedési sebesség tehát a hullámok hullámhosszának négyzetgyökével fordítottan arányos, és befolyásolja a víz sűrűsége, valamint felületi feszültsége, amely 72–75 mN/m értékek között változik a 0–30 °C hőmérsékleti tartományban. Mivel , a csoportsebesség nagyobb a fázissebességnél, .

Áttérve a kapilláris-gravitációs hullámokra, ezekre a következő frekvenciaegyenlet adódik:

A jelölések megegyeznek az előbbi képletben használtakkal, g – a nehézségi gyorsulás. A g együtthatóját, amely a két közeg sűrűségi arányát jellemzi, Atwood-számnak nevezik. Ha az előbbiekhez hasonlóan elhanyagoljuk a levegő sűrűségét a vízével szemben, akkor az Atwood-szám 1 értéket vesz fel és a képlet az

alakra egyszerűsödik. Itt három esetet érdemes megvizsgálni:

a) Gravitációs hullám rezsim: nagy hullámhosszakra (azaz kis k értékekre) az első tag domináns és gravitációs hullámokat kapunk:

Mivel , a csoportsebesség kisebb a fázissebességnél, .

b) Kapilláris hullám rezsim: kis (milliméteres) hullámhosszakra a második tag domináns, tehát visszakapjuk a kapilláris hullámokra érvényes frekvencia-egyenletet és fázissebességet. Ezek tehát tiszta kapilláris hullámok.

c) Fázissebesség minimum rezsim: a fenti két szélső eset között érdekes és fontos megvizsgálni azt az esetet, amikor a kapilláris effektus által okozott csoportsebesség-növekedés, és a gravitáció által okozott csökkenés éppen egyensúlyban van, kioltják egymást, tehát a fázissebesség és a csoportsebesség megegyezik. Általános esetben ez a

.

összefüggést adja, amiből

adódik a kritikus hullámhosszra.

Víz-levegő határfelület esetén az egyszerűsített képlettel számolva

.

Ha kiszámítjuk a c fázissebesség minimumának hullámhosszát az alábbi képletekkel

,

és ezt összevetjük előbbi eredményünkkel, látható, hogy . Ezt tekinthetjük annak a hullámszám, illetve mérethatárnak, amely alatt a kapilláris erő, fölötte pedig a gravitációs erő dominál, vagyis a „fodor-hullám” határnak.

A következőket Richard Feynman-tól idézzük: "[water waves] that are easily seen by everyone and which are usually used as an example of waves in elementary courses [...] are the worst possible example [...]; they have all the complications that waves can have."[33]

Ezt a fentiek – azt hisszük – jól bemutatták.

5.3.2. Felületi gravitációs hullámok fizikája, mélyvízi és sekélyvízi hullámok

Áttérve a kifejlett szél keltette hullámok – mint felületi gravitációs hullámok – fizikájára, elsőként le kell szögezni, hogy itt már nem használhatjuk a korábbi végtelen mélységű folyadék elméletet, hiszen a hullámok nagyok is lehetnek a vízmélységhez képest.

Modellünk tehát véges (h) mélységű összenyomhatatlan fizikai folyadék

Először is azt az érdekes tényt említjük meg, hogy ezeknek a hullámoknak az Euler- és Lagrange-féle képe jelentősen különbözik egymástól. Míg ránézésre (az euleri szemléleti módnak megfelelően) az óceán felszínén haladó A=H/2 amplitúdójú szinusz profilú hullámokat látunk, melyek a vízben a felszíntől a –h mélységben levő fenék felé haladva[34] a mélységgel hiperbolikusan lecsengő amplitúdójú u vízszintes és w függőleges sebesség-, valamint p nyomás-hullámokat hoznak létre (5.14. ábra):

addig az egyes (lagrange-i) vízrészek valójában szinte egy helyben maradnak és ott a felszínen kör-, a mélyben pedig egyre kisebbedő és laposodó ellipszis pályákon (trajektóriákon) mozognak: orbitális mozgást végeznek (5.15. ábra). Ezt a legjobban egy a vízre helyezett, vízzel félig töltött palackkal lehet szemléltetni, amely egy helyben marad és ott egyenletesen billeg.

Az ábrán a hiperbolikus szinusz, a hiperbolikus koszinusz és a hiperbolikus tangens függvény görbéi láthatók

5.14. ábra. A hiperbolikus szinusz --- a hiperbolikus koszinusz --- és a hiperbolikus tangens --- függvény görbéje (Forrás: http://www.cs.brown.edu/~jwicks/boost/libs/math/special_functions/graphics/hyperbolic.png)

Az ábrán a vízrészecskék trajektóriái láthatók a szél keltette hullámokban

5.15. ábra. Vízrészecskék trajektóriái a szél keltette hullámokban (Forrás: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Orbital_wave_motion.svg)

A hullámokban tehát a víz átlagsebessége nulla, csak a hullámenergia továbbítódik. Az orbitális pályák csökkenése megfelel az amplitúdók gyors hiperbolikus csökkenésének, fél hullámhossznyi mélységben a felszíni érték 5%-ára redukálódnak. A pályák középpontjának mozdulatlansága szigorúan csak a lineáris hullámokra érvényes, általában azonban ezek a pontok is elmozdulnak a hullámzás irányába, de sokkal lassabban. A középpontok pályája ekkor egy ún. trochoid görbe (5.16. ábra). Ilyen görbét kapunk, ha a gördülő (tömör) kerék egy kiszemelt pontjának, vagy egy kiszemelt pontjával azonos sugáron levő – a keréken kívüli, de képzelt módon együttgördülő – pont mozgását követjük. Ha a pont a kerék felületén van, akkor cikloid görbéről, vagy cikloisról beszélünk, belső pont esetén zsugorított, külső pont esetén pedig nyújtott trochoidról.

Az ábrán a trochoid görbék láthatók: zsugorított (felül), cikloid (középen) és nyújtott (alul)

5.16. ábra. Trochoid görbék: zsugorított (felül), cikloid (középen) és nyújtott (alul) (Forrás: http://mathworld.wolfram.com/images/eps-gif/Trochoid_1000.gif)

A hullámzás esetén a kerék R sugara a hullámhossznak felel meg az L = 2πR összefüggésen keresztül, míg a kiszemelt pont r távolsága a kerék középpontjától a hullám magasságának a H = 2r összefüggésen keresztül. Ezek és a korábban említett H/L < 1/7-es stabilitási határérték összevetésével látható, hogy mély vízben stabil szél-hullámok esetén csak zsugorított trochoid trajektóriák jöhetnek létre. Sekély vizeket és nem szél keltette hullámokat is figyelembe véve azonban mindhárom trajektória-típus előfordulhat.

A felületi gravitációs hullámokat az előző képletekben matematikailag egy 3 összetevőből (u,v,p) álló és a mélységtől is függő hullám-vektorként írtuk le. Ez tükrözi fizikai lényegüket, azt, hogy minden állapothatározó mezejében oszcillációkat keltenek, a víz belsejében is. Lehetséges azonban egy alternatív, egyszerűsített – és egyben természetesebb – leírásuk is, a hullámzó vízfelszín magassága, mint állapothatározó segítségével. Mielőtt ezt bemutatnánk, megjegyezzük, hogy az előző képletekben a nyugvó vízfelszín volt a (felfelé növekvő) magassági skálánk kezdőpontja: z = 0, ahol a nyomást is p = 0-nak vettük, azaz a légnyomást elhanyagoltuk (szokásos oceanográfiai közelítés). Ezek után a felületi gravitációs hullámok legegyszerűbb matematikai leírása a

hullámprofil-egyenlettel adható meg a fenti koordináta-rendszerben. Mivel ez a hullám a z = 0 szinten

nyomás-hullámot generál, azonnal látható, hogy a víz belsejében terjedő sebesség- és nyomás-hullámok amplitúdóját meghatározó A tényező értéke

.

Másrészről a feltételből következő

dinamikai határfeltétel alapján meghatározható a hullámok frekvenciaegyenlete és fázissebessége is:

A véges h mélységű vízben terjedő felületi gravitációs hullámok sebességét tehát befolyásolja a vízmélység a k és/vagy a h növekedésével 1-hez tartó hiperbolikus tangens függvényen keresztül.

Ennek alapján három rezsimet szokás elkülöníteni:

  • mélyvízi hullámok – ha a vízmélység nagyobb, mint a hullámhossz fele, h > ½ k, a határérték alapján a fázissebességet már nem nagyon befolyásolja a vízmélység és képletünk átmegy a végtelen mélységű vízrétegre érvényes képletbe:

  • sekélyvízi hullámok – ha a vízmélység kisebb, mint a hullámhossz 1/20-ad része, h < 120 k, a határérték alapján a fázissebességet már nem nagyon befolyásolja a hullámhossz, és képletünk átmegy az

képletbe;

  • átmeneti hullámok – egyéb esetekben, vagyis amikor 120 λ < h < ½ λ, mind a hullámhossz, mind a vízmélység befolyásolja a hullámok terjedését (5.17. ábra).

A sekély és mélyvízben történő hullámzás leírása

5.17. ábra. Átmeneti hullámok (Forrás: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Deep_water_wave.gif ; http://en.wikipedia.org/wiki/File:Shallow_water_wave.gif ; http://www.seafriends.org.nz/oceano/ocean04.gif)



[33] A vízhullámokat mindenki jól ismeri, és az elemi iskolákban az egyszerű mozgások példájaként tanítják őket. A valóságban ezzel szemben az egyszerű mozgások lehető legrosszabb példái, mivel az összes lehetséges bonyolultságot tartalmazzák, amelyeket csak hullámmozgások tartalmazhatnak.

[34] A képletekből látható, hogy u, p és w egymáshoz képest 90º-kal eltolt fázisban vannak, vagyis a hullámhegyek és hullámvölgyek középpontjai alatt vannak a vízszintes sebesség és a nyomás maximumai, míg a neutrális pontok alatt a fel- és leáramlás maximumai.