7.2. Az árapály jelenség elméleti (dinamikai) leírása

Az árapály jelenség dinamikai leírása, mint minden más dinamikai elmélet esetében, a ható erők és az általuk előidézett mozgások jellemzőit magába foglaló dinamikai egyenletrendszeren keresztül lehetséges. Jelen esetben az óceánnak a mozgásegyenleteket és a kontinuitási egyenletet magába foglaló dinamikai egyenletrendszerét használhatjuk (akárcsak bármely más óceáni mozgásforma esetében), ható erőkként pedig a Föld és a Hold, illetve a Föld és a Nap közötti tömegvonzást, valamint a fenti égitest-párok egymás körüli keringésekor fellépő centripetális, illetve centrifugális erőket kell figyelembe vennünk, attól függően, hogy inercia-rendszerben, vagy az égitestekhez rögzített vonatkoztatási rendszer(ek)ben gondolkozunk.

Czelnai Rudolf írja könyvében (Czelnai, 1999), hogy az árapály-erők megértéséhez először azt kell tudatosítanunk magunkban, hogy nem teljesen igaz az a triviálisnak tűnő állítás, miszerint a Hold kering a Föld körül. Valójában – mint minden kettős, vagy többes égitest-rendszer esetében – az égitestek közös tömegközéppontjuk körül végeznek keringést, mintha egy súlyzót forgatnánk, melynek két gömbje a két gravitációs kölcsönhatásban levő égitest. Ez a mozgásforma az árapály jelenség létező legegyszerűbb elméleti leírásának az alapja. A Föld–Hold középpontjai közötti közepes távolság, d = 384 000 km a földsugárnak (a = 6370 km) mintegy 60-szorosa, de mivel a két égitest tömegaránya kb. 1/81 (MF = 5,9736 ·1024 kg, mH = 7,349·1022 kg), a közös tömegközéppont a Föld középpontjától csak d / 81 = 384 000 / 81 ≈ 4740 km-re, azaz mintegy 0,73 földsugárnyira (0,73a = 4740 km) van (7.3. ábra). (Itt kéne megfognunk a képzeletbeli Föld–Hold súlyzót a pörgetéskor.)

A Föld–Hold rendszer sematikus ábrája

7.3. ábra. A Föld–Hold rendszer (Forrás: http://www.swampfoxnews.com/swfxgrfx/cartoons/editopic/earth-moon-rod-balnc.jpg)

Czelnai szemléletes leírását folytatva a Föld–Hold rendszer holdhónaponként (idegen szóval sziderikus hónaponként), ~28, azaz egész pontosan 27,12 naponként egyszer megfordul a tengelye körül. Ez a tengely a tömegközépponton áthaladó, a Hold (pontosabban a kettős rendszer egymás körüli) keringési síkjára merőleges egyenes. Vagyis nemcsak a Hold, hanem a Föld is végez egyfajta keringést, vagy inkább excentrikus forgást a fenti tengely körül, hiszen a tengely átmetszi a Földet. Ebből a forgásból centrifugális erő származik, amelynek iránya a Föld középpontjára vonatkoztatva mindig éppen ellentétes a Hold irányával, s így egyben a Hold Földre gyakorolt gravitációs erejének irányával. A két erő egyensúlyt tart, ez biztosítja a rendszer stacionárius állapotát. A Föld középpontjára vonatkoztatott fenti erőegyensúly a földfelszíni pontokban azt jelenti, hogy a Hold felőli félgömbön a holdi tömegvonzási erőnek van többlete a Hold zenitállási pontjában felvett maximummal, míg a Holddal szembeni félgömbön az excentrikus forgásból származó centrifugális erőnek, a Hold nadírállási pontjában felvett maximummal. Ebből az következik, hogy a világtengeren két „kidudorodás” jön létre, az egyik a Hold felé mutató „csúccsal”, míg a másik a Holddal ellentétes irányba mutató csúccsal. A csúcsok a legnagyobb dagály helyei, míg az őket összekötő egyenesre merőleges főkör, az ún. kvadráns főkör mentén jelentkezik a legnagyobb apály (7.4. ábra).

A Hold keltette tengerjárás (globális árapály-hullám) képe egy képzelt kontinens nélküli, teljesen vízzel borított ún. óceán-Földön

7.4. ábra. A Hold keltette tengerjárás (globális árapály-hullám) képe egy képzelt kontinens nélküli, teljesen vízzel borított ún. óceán-Földön, két, egymáshoz képest 180°-kal elforgatott nézőpontból. A piros területek a dagály „dombjait” mutatják, a kék terület pedig az apály „gyűrűjét” jelenti. (Forrás: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/6/65/Tideforcenw.jpg; https://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/a/ad/Tideforcese.jpg)

A fenti elméletet – Galileo Galilei „Értekezés a tenger dagályáról és apályáról”, eredeti olasz címén: „Discorso del flusso e reflusso del mare” c. 1616-ban megjelent úttörő tanulmányában kifejtett, elvében helyes, de a fenti centrifugális erő figyelmen kívül hagyása miatt mégis téves képet adó elméletének továbbfejlesztésével Isaac Newton[43], majd ezt követően differenciálegyenletek formájában Pierre-Simon Laplace fejlesztette ki 1776-ban. Talán hihetetlenül hangzik, de ezekkel – a megfelelő erőhatásokkal kényszerített – összenyomhatatlan fizikai folyadékra vonatkozó parciális differenciálegyenletekkel Laplace volt a mai értelemben vett hidrodinamika úttörője.[44]

Vegyük észre, hogy eddigi gondolatmenetünkben még egyáltalán nem jelent meg a Föld tengely körüli forgása. Ha ezt is hozzávesszük az elmélethez – amit Laplace egyébként már megtett – feladatunk lényegesen elbonyolódik. Ez azért van így, mert míg az ekliptika síkjához (a Föld és a többi bolygó Nap körüli keringési síkjához) képest a Hold Föld körüli keringési síkja csak csekély és így elhanyagolható mértékben (5,1°) hajlik el, addig a Föld forgástengelye dőlt és ezáltal a földforgás izocirkuláris síkjai[45] által az ekliptika síkjával bezárt szög 23,4° (7.5. ábra). Ez már nyilvánvalóan nem elhanyagolható.

A Föld pályaelemei

7.5. ábra. A Föld pályaelemei (Forrás: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/43/Earth-Moon.PNG; http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/61/AxialTiltObliquity.png; http://www.mek.oszk.hu/00500/00558/html/dip4.htm)

Ezért – az időskálák különbségét is figyelembe véve[46] – mégsem mondhatjuk azt, hogy a dagályhullám (ami voltaképpen két csúcs) egyszerűen követi a forgó Földet „óránként 15 hosszúságnyi foknyit, pontosan úgy, ahogy a Föld forog[47].” Ez az első tényező, amely jelzi az árapály elmélet tényleges bonyolultságát.

Az árapály-jelenség legegyszerűbb egzakt fizikai leírása az ún. dagály-potenciál, vagy dagályerő potenciál segítségével lehetséges. Ez azért nem egyszerűen csak egy gravitációs erő anomália-potenciál, mert az árapály-jelenség kialakításában a gravitáción kívül az egymás körül keringő Föld–Hold, illetve Föld–Nap rendszerekből származó földi virtuális centrifugális erőkomponens is részt vesz. Mindazonáltal az alábbi levezetésben ezt a hatást figyelmen kívül hagyhatjuk. A levezetést Stewart (2008) monográfiájából vettük, azt elsőként Pugh (1987) közölte.

Tételezzük fel, hogy a Föld és az árapály-keltő égitestek közül a Hold a 7.6. ábrán látható módon helyezkednek el egymáshoz képest:

A Föld és a Hold elhelyezkedése egymáshoz képest.

7.6. ábra. A Föld és a Hold elhelyezkedése egymáshoz képest. (Forrás: http://oceanworld.tamu.edu/resources/ocng_textbook/chapter17/Images/Fig17-10.htm)

Fontos megjegyezni, hogy a legtöbb régebben kiadott oceanográfiai könyv – s ez alól a később ismertetendő Kuruc A.-féle „Tengerrajz” monográfia sem kivétel – a dagálykeltő erők közül elkülöníti a Hold gravitációs vonzóerejét, mint a 7.6. ábrán látható, Hold felé eső „dagály-domb” okozóját, és a Földnek a baricentrum (közös tömegközéppont) körüli excentrikus forgása következtében létrejött centripetális erőt, mint a Holddal ellentétes „dagály-domb” okozóját. Ennek az elkülönítésnek a modern fizikai szemlélet szerint nincs alapja, és helyette a két egymás körül forgó égitest közös gravitációs mezejéről beszélünk, mint egységes dagálykeltő erőről. A Földet ismét teljesen vízzel borított óceán-bolygónak tekintve az ábrán látható P földfelszíni pontban a Hold gravitációs potenciálja a

(7.1)

képlettel írható le, ahol M – a Hold tömege, γ – a gravitációs állandó, r1 pedig a P pont és a Hold középpontjának távolsága. Ez nyilvánvaló a Hold gravitációs erőterének Newton-féle formulájából:

(7.2)

A képletben az e1 egységvektor nyilvánvalóan a P földi pontból a Hold felé mutat. A koszinusz-tételt az OPA háromszögre alkalmazva

(7.3)

ahol r – a Földsugár, R – a Föld és a Hold középpontjának távolsága, φ pedig a Hold zenitszöge a P pontban. Ezt behelyettesítve a Hold-vonzási potenciálnak is nevezett VM képletébe, kapjuk, hogy

(7.4)

.

Minthogy vagyis értéke 0-hoz közeli, elegendő pontosságúnak bizonyul az a közelítés, hogy VMet r/R Legendre-sorba[48] fejtjük (l. Whittaker and Watson, 1963), és az első három tagra csonkítjuk (trunkáljuk):

(7.5)

Mint ahogy azt már említettük, a Hold gravitációs erőterét a fenti VM potenciál gradienseként kaphatjuk meg. Ha alkalmazzuk a közelítést, akkor a gradiens képzésekor a függvénysor első tagja 0 adalékot ad, a második tag pedig szerint deriválva a Holdnak a Föld középpontjára gyakorolt gravitációs erőhatását (vonzóerejét) adja meg, melynek értéke

(7.6)

.

A korábban használt e1(sárga) egységvektorhoz hasonlóan az i (zöld) egységvektor is a Hold felé mutat, kezdőpontja azonban a Föld tömegközéppontja. A fenti képlettel leírt erőhatás tartja meg a Földet a közös tömegközéppont, azaz a baricentrum körüli excentrikus körpályáján (imbolygásban). A harmadik tag az árapály-potenciál, amennyiben – mint fentebb említettük – a sorfejtés magasabb rendű tagjait elhanyagoljuk:

(7.7)

.

Ezt differenciálva kaphatjuk meg a dagály-erőt, amely voltaképpen az adott P pontra ható vonzóerő és az előbb említett O Föld-középpontra ható globális vonzóerő különbsége. Ennek is van a lokális zenit irányába mutató, vonzóerő jellegű összetevője, amelyet az óceánok területén a tengerfenékre nehezedő nyomási erő-többlet (a dagályhullám vízoszlopának többlet-súlya) kompenzál. (Természetesen ez lehet nyomási erő-hiány is az apály területén.) Van azonban egy, a lokális vízszintes irányba mutató erő-összetevő is, amely a Hold mozgásának megfelelően vízszintes nyomási gradienst és gyorsulást hoz létre és így létrehozza és áthelyezi a dagályhullámot. Ezt a gyorsulást fogjuk most kiszámítani:

(7.8)

(7.9)

ahol az ún. dagálykeltő, vagy dagályerő-potenciál. A fenti képletből jól látható a dagályhullám kettős csúcsa, melyek a Föld–Hold vonalra szimmetrikusan helyezkednek el (7.7. ábra).

Az árapály-keltő erő vízszintes összetevőjének globális eloszlása.

7.7. ábra. Az árapály-keltő erő vízszintes összetevőjének globális eloszlása abban az esetben, ha az árapály-keltő égitest az Egyenlítő felett van zenitben (a Z fókuszpont felett az ábrán). (Forrás: )

Kövessük a továbbiakban is Stewart (2008) gondolatmenetét, amelyben lépcsőzetesen építi fel a tengerjárás dinamikai elméletét.

Napdagály: Nyilvánvaló, hogy a fentivel azonos dinamikai elmélet segítségével lehet leírni a Nap hatására kialakuló árapály jelenséget is. A két jelenség, vagy pontosabban gravitációs kölcsönhatás erősségének összehasonlítására jól használható az imént bevezetett dagályerő, v. árapály-erő potenciál:

(7.10)

(7.11)

A képletekben a következő jelöléseket használtuk: S, RS – a Nap tömege és Földtől való távolsága, M, RM– a Hold tömege és Földtől való távolsága. Az összehasonlítás jól mutatja, hogy a Nap-árapály egyáltalán nem hanyagolható el a Hold-árapály mellet, hiszen annak majdnem a fele. A korábban említett hidrodinamikai számítások szerint a Hold-dagályhullám magassága egy vízbolygó-Földön mintegy 55 cm, a Nap-dagályé pedig mintegy 25 cm volna. A valóságos adatok ettől jelentősen eltérnek, általában felfelé, elsősorban azért, mert az egyes óceánmedencékben tárolt víz tényleges tömege lényegesen kisebb, mint a világóceáné, és ezek a víztömegek kvázi-függetlenül reagálnak az árapály kényszererőkre.

Dinamikus árapály-elmélet: A fenti dinamikai elmélet teljesen sztatikus: mind a Hold, mind a Nap esetében a két kölcsönható égitestet mozgásuk egy adott pillanatában rögzítettük. Így aztán elméletünk a jelen pillanatban még meglehetősen fogyatékos. Mint jól tudjuk azonban, a Hold kering a Föld körül (pontosabban a korábban leírt excentrikus centrifuga-mozgást végzik a baricentrum körül), valamint a Föld és a Hold is forog. Ezek a legfontosabb dinamikus hatások Föld–Hold viszonylatban. Meg kell jegyeznünk, hogy a Holdpálya nem kör, hanem ellipszis alakú, és időben változik: az ellipszis forog. A Föld–Nap dinamikus kölcsönhatások közül ugyancsak a keringés (ez esetben igen jó közelítéssel a Föld keringése) és a földforgás a lényegesek. A hosszabb időskálákon, még egyéb időfüggő folyamatok, mint pl. a Föld orbitális paramétereinek változásai (pl. a precesszió) is szerepet játszanak. Ezen hatások szuperpozíciója egyáltalán nem könnyű feladat. Ennek szemléltetésére álljon itt az alábbi példa.

Azt hinnénk, hogy a földforgás igen egyszerű hatás, vagyis a két dagály-domb 24 óra alatt megkerüli a Földet. Ez a pontosan 24 órás periódusidejű forgás azonban kölcsönhatásba lép a Hold keringésével, melynek periódusideje sokkal nagyobb (a 27,32 napos sziderikus hónap) és – mint már említettük – teljesen más síkban zajlik, mint a földforgás. Mindemellett e két mozgás szuperpozíciójának eredménye az, hogy a forgó Földről nézve a Hold 24 óra 50 perc alatt kerüli meg a Földet. Ezt nevezzük Hold-napnak. Így aztán két dagály-domb a Hold-napnak megfelelő frekvenciával, azaz 12 óra 25 percenként (1/2 Hold-nap) járja körül a glóbuszt. Itt még nem is beszéltünk a Hold keringési síkja és a földforgás ekvicirkuláris síkja közötti jelentős különbségről. A fenti elmélet a földi Egyenlítőre nézve szimmetrikus módon tehát csak akkor teljesül, ha a Hold zenitpontja a földi Egyenlítőre esik, ami sziderikus hónaponként csak kétszer fordul elő. Ez azt jelenti, hogy a kifejtett stacionárius elmélet –kimondatlanul – csak akkor értelmezhető könnyen, amikor a Hold az Egyenlítő síkjában „delel”. Következésképpen, ha az összes felsorolt mozgást egybe akarjuk ötvözni, elég bonyolult elméletet kell létrehoznunk.

A Hold és a Nap relatív mozgása: A bemutatott példa után térjünk át a szisztematikus (rendszeres) tárgyalásra. Ennek nyilvánvaló módszere az, hogy matematikailag le kell írnunk a Hold és a Nap pozícióját a Föld adott pontjához képest, mint az idő függvényét. Ehhez a szokásos geodetikus koordinátarendszert fogjuk felhasználni. A teljesen pontos asztronómiai leírást néhány helyen egyszerűsíteni fogjuk. Az ún. csillagászati geodetikus rendszer csupán annyiban különbözik a földiről, hogy a hosszúságot nem a greenwichi délkörtől, hanem a Tavaszponttól mérik. A Tavaszpont az az irány, amelyben a Föld átlép a télből a tavaszba a tavaszi napéjegyenlőség (márc. 21.) időpontjában, vagyis amikor minden földrajzi pontban egyenlő (12 óra) a nap hossza. A tényleges asztronómiai gömbi koordináta-rendszerben további igazítást hajtanak végre, azaz a földi egyenlítőt elforgatással az ún. égi egyenlítőre cserélik ki, amely az ekliptika síkjának vetülete a Földön, tehát 23,45°-ot zár be a földi Egyenlítővel. Az asztronómiai koordinátarendszerben a földrajzi szélesség megfelelője a deklináció, hosszúságé pedig a jobb(sodrású) aszcenzió, de ezek helyett a bonyolult elnevezések helyett (a földtudományokban) gyakran használják az ekliptikus hosszúság és szélesség elnevezést.[49]

Az árapály vezető frekvenciái: Ennek előrebocsátásával most írjuk fel legfontosabb képletünket az időben változó dagálykeltő potenciálról, mely a képletben szereplő és időben változó φ szög meghatározására szolgál:

(7.12)

.

A képletben – az a földrajzi szélesség, melyre a számítást végezzük, δ – a Nap, vagy a Hold deklinációja az Egyenlítőhöz képest, végül τ – az ún. óraszög, amely a Nap, vagy a Hold napi pályájának helyzetét rögzíti: az a földrajzi hosszúság, amelyben a Nap, vagy a Hold keringési síkja átmetszi az Egyenlítőt. A most kapott képletet behelyettesítve az árapály-potenciál képletébe (ami csak a Hold-hatást tartalmazza):

(7.13)

A kapott nagyon fontos képlet a Hold-dagály potenciált három fő komponensre bontja, melyek periódusideje egyenként kb. 14 nap, 24 óra és 12 óra. Ugyanilyen módon felbontva a Nap-dagályt szintén három szignifikáns periódusidőt kapunk, melyek: 180 nap, 24 óra és 12 óra. Így végeredményül három karakterisztikus árapály-frekvenciánk van: 12 óra, 24 óra és hosszabb időtartamú, melyek földrajzi hosszúság szerinti mozgása – egyenként –,és -vel arányos, ahol , az ún. kiegészítő szélesség (ang. co-latitude), a földtengellyel bezárt szög. A képletben a két utolsó komponens írja le a rövid periódusú, óraszögtől függő összetevőket, míg az első tag a hosszútávú, csak a deklinációtól függő összetevőt.

Az árapály-jelenségek dinamikájának 20. századi legnevesebb kutatójaként ma A. T. Doodsont (1890–1968) tartjuk számon, aki a fenti gondolatmenetet kiterjesztve az árapály-jelenséget Fourier-analízis alkalmazásával időben hat különböző frekvenciájú folyamatra bontotta, melyekhez a jellemző periódusidőket fizikai alapokon választotta meg. Felbontásának triviális képlete:

,

(7.14)

ahol az -k a jellemző frekvenciák (módusok), az -k pedig a jellemző súlyok (egész számok), melyeket ma Doodson-számoknak neveznek. A jellemző frekvenciákat a következő táblázatban foglaljuk össze:

 

Frekvencia (°/óra)

Periódusidő

Fizikai jellemző

14,9205211

1 holdnap

Helyi közepes holdidő

0,54901653

1 hónap

A Hold asztronómiai hosszúsága

0,04106864

1 év

A Nap asztronómiai hosszúsága

0,00464184

8,847 év

A holdpálya perigeumának asztronómiai hosszúsága

-0,00220641

18,613 év

A holdpálya átfordulási ideje

0,00000196

20 940 év

A nappálya perigeumának asztronómiai hosszúsága

7.1. táblázat. Az ún. Doodson-táblázat: az árapály folyamatnál figyelembe vett fő frekvenciák

A Doodson-számok – amelyek valójában azt fejezik ki, hogy az adott módus hány felharmonikusát kell figyelembe venni – a következők: míg a többi komponens esetében (valószínűleg a nem kellően pontos súlyozás miatt) Doodson az választást javasolta. Például a legfontosabb, holdnapnak megfelelő f1 frekvencia Doodson száma 255,555. Doodson fent ismertetett felbontását 1921-ben publikálta.

Mai ismereteink egy ennél már komplexebb, több összetevőt tartalmazó spektrális felbontást tesznek lehetővé. Azonban ez is a (7.14) képletnek megfelelő három frekvencia-csoportot tartalmazza (7.2. táblázat):

Árapály hullámok

Név

n2

n3

n4

n5

Egyensúlyi amplitúdó (m)

Periódus (óra)

Félnapos

n1 = 2

elsődleges holdhatás

M2

0

0

0

0

0,242334

12,4206

elsődleges naphatás

S2

2

–2

0

0

0,112841

12,0000

holdpálya ellipticitása

N2

–1

0

1

0

0,046398

12,6584

Hold-Nap kölcsönhatás

K2

2

0

0

0

0,030704

11,9673

Napos

n1 = 1

Hold-Nap kölcsönhatás

K1

1

0

0

0

0,141565

23,9344

elsődleges holdhatás

O1

–1

0

0

0

0,100514

25,8194

elsődleges naphatás

P1

1

–2

0

0

0,046843

24,0659

holdpálya ellipticitása

Q1

–2

0

1

0

0,019256

26,8684

Hosszú periódusú

n1 = 0

kéthetes

Mf

2

0

0

0

0,041742

327,85

egyhónapos

Mm

1

0

–1

0

0,022026

661,31

féléves

Ssa

0

2

0

0

0,019446

4383,05

7.2. táblázat. Az árapály hullámok elsődleges összetevői (az egyensúlyi amplitúdók Apel, 1987 alapján)

Nem tartjuk annyira fontosnak, hogy lefordítsuk, de hadd álljon itt lábjegyzetként a Wikipédia angol nyelvű magyarázata ugyanerről a kérdésről.[50]

A fenti táblázat elkészítésénél az árapály potenciálnak megfelelő egyensúlyi állapotot vettük figyelembe egy óceán-Földön (Cartwright, 1999). Amint az nyilvánvaló, hiszen véges számú elkülöníthető hatás hozza létre, az árapály frekvencia-spektrum „vonalas” és nem „kontinuum-jellegű”. (A szél keltette hullámzás az advekció miatt folytonos spektrumú.) A rövid és hosszú periódusidejű összetevők kölcsönhatása miatt ugyanakkor a rövid idejű árapály-összetevők „felhasadoznak”, vagyis kvázi-kaotikus jelleget mutatnak. A Doodson-féle felbontás összesen 399 spektrális összetevőt tartalmaz, melyek közül 14 harmad-nap körüli (~8 h), 115 félnap körüli (~12 h), 160 egy nap körüli (~24 h) és 100 hosszú periódusidejű (> 1/2 sziderikus hónap). A táblázat csak a legfontosabb (legnagyobb amplitúdójú) összetevőket tartalmazza. A felhasadozott, sok-összetevős spektrumot az alábbi, 7.8. ábrán mutatjuk be.

Az egyensúlyi árapály hullámok spektruma.

7.8. ábra. Felül: Az egyensúlyi árapály hullámok spektruma a félnap körüli frekvenciatartományban. A spektrumot csoportokra osztjuk, amelyeket egy egyhónapos ciklus választ el (0,55°/óra). Alul: Az S2 csoport felbontott spektruma, amely egyéves ciklust (0,04°/óra) mutat. A legfinomabb felbontás ezen az ábrán egy 8,847 éves ciklust mutat (0,0046°/óra). Forrás: Richard Eanes, Center for Space Research, University of Texas. (Forrás: http://oceanworld.tamu.edu/resources/ocng_textbook/chapter17/Images/Fig17-12.htm)

Az árapály-potenciál spektrális összetevőkre való felbontásának fontosságát – a Doodson-frekvenciák alkalmazásával – a (7.13) képletnél még szemléletesebben is kifejezhetjük a következő gondolatmenettel. Tegyük fel, hogy a Holdpálya az Egyenlítő síkjában van, azaz δ =0. Ekkor az egyenlítői pontokban, ahol egyben φs=0, a dagály-potenciál képlete a

(7.15)

A Holdpálya ellipticitását (excentricitását) relatíve kicsinek feltételezve (ez a valóság), ahol R0 a közepes Föld–Hold távolság, a következő közelítő képletre jutunk:

(7.16)

ahol

(7.17)

Ezt behelyettesítve a (7.16) képletbe:

(7.18)

A formula ilyen formában való felírása még nyilvánvalóbban mutatja a kölcsönhatásokat és a három fő komponensre való szeparációt, melyek periódusideje és .

Valóságos árapály. Árapály (dagály) előrejelzés. A fentiek alapján, ha az árapály folyamat végig egyensúlyi lenne, a pontos előrejelzés problémája megoldott volna. Sajnos azonban az árapály távolról sem egyensúlyi folyamat. A dagályhullám, ami fizikai természetét illetően ugyancsak egy sekélyvízi hullám, nem képes lépést tartani a Hold és Nap relatív mozgásával a forgó Föld körül. Az Egyenlítőn a dagályhullámnak 1 nap alatt kellene megkerülnie a Földet, ami mintegy 460 km/óra fázissebességet igényelne. Ez a sekélyvízi hullámok fázissebesség képlete szerint azonban mintegy 22 km mély óceánt igényelne. A legfontosabb módosító (gátló) tényező azonban, amely megakadályozza a stacionaritást, és megbontja a gravitációs geometriát, a kontinensek jelenléte, azaz az óceánok geometriája (alakja). Ezen kívül szerepet játszik a Coriolis-erő, valamint a rezonancia, nemcsak óceán-medence, hanem kisebb (tenger, öböl) skálákon is. Mindezeket a hatásokat figyelembe véve a dagályhullám tényleges mozgását a világtengerben a következő térképen szemléltethetjük (7.9. ábra):

Az árapály hullámok azonos fázisú (kotidális) vonalai az Atlanti- és a Csendes-óceánon.

7.9. ábra. Az árapály hullámok azonos fázisú (kotidális) vonalai az Atlanti- és a Csendes-óceánon. A térkép azokat a kotidális vonalakat ábrázolja, amelyeket a félnapos Hold-dagály okoz, ha a Hold a greenwichi délkör és az Egyenlítő metszéspontjában delel. A görbékre írt számok a maximális dagály időpontjának eltérései a GMT-től órában. A dagályhullám amplitúdója nullához közeli, ahol a kotidális vonalaknak egyenletes nagy gradiense van (pl. az Aleut-szigetek és Indonézia között). Az Atlanti-óceán déli medencéjében progresszív hullámterjedési formációt láthatunk. Egyébként mindkét óceánban a rotációs alakzatok a jellemzőek, egy középponttal, melyet amfidromikus pontnak nevezünk. Itt nincs árapály. Az északi féltekén a rotáció az óramutató járásával ellentétes, míg a déli féltekén azzal megegyező (Coriolis-hatás). Különlegesen érdekes a Csendes-óceán 5°D szélességen levő amfidromikus pontja, amely még az északi félteke szabályainak engedelmeskedik. Ezt ellensúlyozza az Észak-Amerika nyugati partjainál fekvő anomáliás amfidromikus cirkuláció. (Forrás: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/05/Cotidal-lines-world.jpg)

Ezek után áttérve az előrejelzés problémájára, ezt – mint korábban már jeleztük – két részre célszerű bontani:

  1. Árapály előrejelzés a partokra és a sekély vizekre (ellenőrzés vízszintmérőkkel),

  2. Árapály előrejelzés a világóceán egészére (ellenőrzés műholdas tengerfelszín-magasságmérőkkel).

1.Partmenti előrejelzés

Két módszer használatos:

Harmonikus módszer: Legalább 20 (esetlegesen 19)[51] éves vízszint mérési sor alapján Fourier-analízissel az összes számba jöhető harmonikus összetevő amplitúdójának meghatározása. Előrejelzés a Fourier-sor (Doodson-táblázat) alapján. Ez a legrégebben használt tradicionális módszer. Ennek ellenére számos hátránya van:

Trigger-válasz módszer: A módszert Munk és Cartwright (1966) hozták létre. Alapja az adott helyen tapasztalható tényleges dagály, és a dagály-potenciál összehasonlító elemzése. Ennek alapján „átbocsátási” függvényeket lehet számítani az egyes dagály-harmonikusokra. Ezek használatával lehet a dagályokat előrejelezni. A módszer előnyei és hátrányai:

2.Teljes óceáni előrejelzés

Ez nemrégen még megoldhatatlan feladat volt, mivel nem voltak mérőeszközök. A TOPEX/Poseidon műhold 1992-es felbocsátásával a helyzet gyökeresen megváltozott, mivel ezt a műholdat az óceánfelszín magasságának igen pontos mérésére alkották meg.

A műholdat az óceáni árapály mérésére leginkább alkalmas pályára állították, és mivel magasság-mérési pontossága ±2 cm volt, gyakorlatilag miden fontos árapály hullám-összetevőt ki tudott mérni. A mérési adatok valójában a teljes oceanográfiát forradalmasították, mivel lehetőség nyílt a más típusú, pl. geosztrofikus áramlatok mérésére is.

Az adatok felhasználása két irányban folyt. Az említett hidrodinamikai elmélet nem bizonyult túl pontosnak, elsősorban az árapály energia disszipációjának hiányos ismerete miatt. Ennek ellenére az elméleti számítások számos új ismeretet adtak. Ezek közül a legfontosabbak:

Visszatérve a teljes világóceánra kiterjedő árapály-analízishez, gyakorlatilag a 7.9. ábra alatti szöveget kell megismételnünk. Maga az ábra is műholdas altimetriával készült. Jól látható rajta, hogy a kontinensek és elsősorban a Coriolis-erő által módosított dagály-hullámok legtöbbször kör alakú örvényekké módosulnak, melyek középpontjuk, az ún. amfidromikus pontok körül elég szabályos körforgást végeznek. A mérsékeltövi ciklonokhoz hasonlóan ez a körforgás az óramutató járásával ellentétes az északi félgömbön, és az óramutató járásával megegyező a déli félgömbön. Ez egyáltalán nem meglepő, hiszen a Rossby-hullámokból kialakuló mérsékelt övi ciklon-örvényeket a domborzat keltette külső gravitációs hullámok hozzák létre, tehát valójában ugyanolyan fizikájú sekélyvízi hullámok, mint a dagályhullámok. Mindkét hullámfajta nagy, több ezer kilométeres karakterisztikus horizontális mérete miatt tekinthető sekélyvízinek, hiszen sem a légkör, sem az óceán vertikális kiterjedése nem tud versenyezni ezekkel a méretekkel. Az amfidromikus pontokban gyakorlatilag nincs „tengerjárás”, az örvény sugara mentén azoktól távolodva viszont a dagályhullám amplitúdója folyamatosan nő. Mivel az amfidromikus pontok többsége az óceánok középső területein helyezkedik el, a fentiek alapján az óceán-medencék szélén, a szárazföldekhez közeli tengerrészeken és a partokon várhatók a legnagyobb dagályok (7.10. ábra).

Balra: A part menti területek jelentős dagály-amplitúdóját bemutató kép. Jobbra: a Hold és az árapály kapcsolatát bemutató kép.

7.10. ábra. (a) A part menti területek jelentős dagály-amplitúdóját bemutató kép. (b) a Hold és az árapály kapcsolatát bemutató kép: alacsony (horizont közeli) holdállás → apály, magas (zenit közeli) holdállás → dagály. (Forrás: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1d/Tide_and_Moon.jpg)

Az M2-vel jelölt elsődleges (12 órás) Hold-dagály (összetevő) globális eloszlása.

7.11. ábra. Az M2-vel (l. 7.2. táblázat) jelölt elsődleges (12 órás) Hold-dagály (összetevő) globális eloszlása. Az ábra jól mutatja az amfidromikus pontokat, az örvényeket, és a kontinensek északnyugati partvidékén kialakuló nagy rezonancia-dagályokat. (Forrás: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/M2_tidal_constituent.jpg)

A globális árapály-térképek rámutatnak az óceánmedencék alakjának és nagyságának fontos szerepére is (7.11. ábra). A 12 órás (vagy a körüli) periódusú dagályhullámok közel azonos amplitúdóval fordulnak elő mindhárom óceánban. Ugyanakkor a 24 óra körüli periódusú dagályhullámok az Atlanti-óceánban sokkal ritkábbak, mint a másik két óceánban. Ennek az az oka, hogy az Atlanti-óceán mérete (főleg szélessége, amely csak 3–4000 km) lényegesen kisebb, mint a másik két óceáné. Ezért itt a dagályhullámok nagy sebességük miatt – amely, ha nem is éri el a 40 000/24 =1 666,6 km/órát, ami az Egyenlítő kerületi sebessége, de 600–700 km/óra körül van – nem tudnak rezonálni és ezzel állóhullámot létrehozni a 24 órás időskálán. Az Atlanti-óceán medencéjének északi irányban való beszűkülése a Nagy-Britannia–Izland–Grönland vonalban azonban a Földön mért legmagasabb dagályhullámokat hozza létre.

Globális skálán a legnagyobb dagály-amplitúdó a Kanadához tartozó Fundy-öbölben (7.12. ábra) található, amely New Brunswick és Nova Scotia tartományokat választja el. Itt a dagály amplitúdója 8,15 m, ami 16,3 m hullám-magasságnak felel meg. Az adat nem szignifikáns, mivel legnagyobbrészt a seiche-rezonancia hozza létre. Ugyanakkor az északi félteke magasabb földrajzi szélességein – az említettek miatt – jellemzőek a magas dagályok.

A Fundy-öböl képe

7.12. ábra. Fundy-öböl (Forrás: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/74/Wpdms_nasa_topo_bay_of_fundy_-_en.jpg, © 2004 Matthew Trump based on NASA image in public domain)

Az Egyesült Államokban a legnagyobb dagály-amplitúdót Anchorage-ben (Alaszka) mérik, ahol a hullám-magasság 12,2 m. Ez viszont már csaknem szignifikáns adat. A dagály-potenciál földrajzi szélességgel való növekedését az északi féltekén a kontinensek kiterjedési arányának növekedése okozza.

Európában – szintén a seiche-rezonancia jelenség miatt – Franciaországban, a bretagne-i félsziget közelében mérik a legnagyobb dagály-amplitúdót egy Mont St. Michel nevű helyen (ez egy Normandiához tartozó sziget, ld. 7.13. ábra), ahol a hullám-magasság 14,4 m, ismét csak a Bretagne által okozott seiche-rezonancia miatt. A szigetet dagály-szigetnek is nevezik, mivel területének közel felét elönti a víz dagály idején. A világ első „valódi” (nem kísérleti) árapály vízierőművét Franciaország helyezte üzembe a Rance folyón (Bertagne-ban) 1966-ban, 240 MW kapacitással.

Mont St. Michel, a „dagály-sziget” látképe apály és dagály idején

7.13. ábra. Mont St. Michel látképe apály és dagály idején (Forrás: http://i.imgur.com/p0y1q6t.jpg)

Az árapály energiája és ennek disszipációja: Az árapály perturbációk egy magányosan álló, más égitestekkel gravitációs kölcsönhatásban nem álló Földdel szemben óriási energia-többletet képviselnek, melynek mértékére csupán a disszipáció alapján következtethetünk. Általános vélemény az, hogy az árapály energia mintegy 2/3 része potenciális, míg 1/3 része mozgási energia. Az árapály energia disszipációjára Kantha (1998) adott becslést. Eszerint a disszipáció mértéke 3,75±0,08 terawatt[52] (TW), melynek legnagyobb része, ~3,5 TW belső gravitációs hullámok formájában az óceánban realizálódik, a fennmaradó részt pedig a litoszféra és az atmoszféra nyeli el. Ne felejtsük el, hogy ez gyakorlatilag hőbevételt jelent az adott földi közegek számára. Ugyanakkor a közvetlen dinamikus kölcsönhatások sem elhanyagolhatók. A disszipáció fékezi a Föld forgását évszázadonként 2,07 milliszekundummal és egyben növeli a Hold–Föld pálya méretét, a közepes pálya 3,86 cm/év mértékű növelésével és végül növeli az óceánok vizének átkeveredését. A fenti számítási eredményeket megerősítik a Föld–Hold távolságmérések, az egyéb asztronómiai számítások, végül a korábbi napfogyatkozási regisztrátumok eredményei. Léteznek számítások a különböző árapály-hullámösszetevők disszipációjára nézve is. Eszerint az elsődleges Hold-hullám (M2) esetében az energia 2/3 része nyelődik el a sekély tengerek alján (a kontinentális talapzatokon), míg 1/3 rész a mélyóceánokban kelt belső gravitációs hullámzást (Egbert és Ray, 2000). Ugyanakkor a 24 órás periódusú K1 hullám esetében 85–90% disszipálódik a litoszféra lemezeken a kontinentális talapzatok sekély vizében, míg mindössze 10–15% alakul át a mély-tenger belső energiájává belső gravitációs hullámok gerjesztése révén. Összességében, jelenlegi tudásszintünk ezekről a folyamatokról már lehetővé teszi, hogy a „dagály-információt” hasznosítani tudjuk az óceáni vízkörzés és vízkeveredés elméletében. Ennek megfelelően megfogalmazásra került (az eredeti Broecker[53]-hipotézissel szemben) hogy az ún. termohalin cirkulációban és átkeveredésben jelentős szerepet játszanak az árapályerők. Mivel a vertikális átkeveredés jelentős szerepet játszik a MOC-ban (Meridional Overturning Circulation, a világóceán globális 3D-s cirkulációja; Munk és Wunsch, 1998), tehát lehetséges, hogy nem a Broecker–féle termohalin vízsüllyedés, hanem az árapály a fontosabb hajtóerő. Ki gondolta volna, hogy a háromdimenziós óceáni futószalag és ennek a klímára gyakorolt hatása megértéséhez az árapály-elmélet megértése is szükséges lesz[54]? Pedig így van!



[43] Newton, I. (1684): Principia Mathematica

[44] Laplace egyenletrendszere lényegében megegyezik a mai „sekélyvízi” („shallow water”) egyenletekkel.

[45] A Föld egyenletes körmozgást végző különböző sugarú szeleteinek határértéke, melyeket a bolygó szélességi körök menti finom „felszeletelésével” kapunk.

[46] A földforgási periódus a keringési periódusnak, azaz a sziderikus hónapnak mindössze 1/28-a.

[47] Idézet Czelnai R. „A világóceán” c. könyvéből.

[48] Legendre-polinomokkal szorzott hatványsor, mely jól illeszkedik a gömbi geometriához.

[49] Bár a korábbi ábrákon már többször megjelentek, mégis célszerűnek látjuk összefoglalni Föld, a Hold és a Nap árapályra ható legfontosabb – időben változó orbitális paramétereit:

Égitest

Paraméter

Érték

Periódus

Föld

Keringés a Nap körül (ellipszisen) az ekliptika síkjában

360°

1 sziderikus év = 365,256 nap

Föld

Pályajellemzők:

Perigeum (1/2 kistengely)

Apogeum (1/2 nagytengely)

Középtáv (1/2)

147 098 290 km

152 098 232 km

149 598 261km

n.a.
 

A Földpálya kistengelyének (perigeumának) körülfordulása az ellipszis mentén

360°

20 942 év

Föld

Tengely körüli forgás

360°

1 nap = 24 óra =86400s

Föld

Tengelyelhajlás az ekliptika síkjához (ennek normálisához) képest

±23,45°

1 sziderikus év = 365,256 nap

Föld

Precesszió (forgástengely körmozgása a Föld középpontja körül)

360°

26 000 év

Hold

Keringés a Föld körül (ellipszisen)

(orbital, sidereal)

360°

1 sziderikus hónap = 27,321 nap

Hold

Relatív keringés a Nap körül keringő Föld körül

(synodic)

360°

1 holdhónap = 29,530 nap

Hold

Látszólagos keringési idő a forgó földi rendszerből nézve

360°

1 holdnap = 24,51 óra

Hold

Pályajellemzők

Perigeum (1/2 kistengely)

Apogeum (1/2 nagytengely)

Középtáv (1/2)

362 570 km

405 410 km

384 399km

n.a.

Hold

A Holdpálya inklinációja az ekliptika síkjához képest

5,15° (4,97°-5,32°)

18,613 év

Hold

A Holdpálya kistengelyének (perigeumának) körülfordulása az ellipszis mentén

360°

8,85 év

Hold

Tengely körüli forgás

360°

1 sziderikus hónap = 27,321 nap (szinkron)

Hold

Tengelyelhajlás az ekliptika síkjához (ennek normálisához) képest

6,68°

1,53 (1,35°–1,71°)

(szinkron a pálya-inklinációval –Cassini tv.)

[50] The number of different tidal frequencies is large, but they can all be specified on the basis of combinations of small-integer multiples, positive or negative, of six basic angular arguments. In principle the basic arguments can possibly be specified in any of many ways; Doodson's choice of his six "Doodson arguments" has been widely used in tidal work. In terms of these Doodson arguments, each tidal frequency can then be specified as a sum made up of a small integer multiple of each one of the six arguments. The resulting six small integer multipliers effectively encode the frequency of the tidal argument concerned, and these are the Doodson numbers: in practice all except the first are usually biased upwards by +5 to avoid negative numbers in the notation. (In the case that the biased multiple exceeds 9, the system adopts X for 10, and E for 11.)

The Doodson arguments are specified in the following way, in order of decreasing frequency:

is 'Mean Lunar Time', the Greenwich Hour Angle of the mean Moon plus 12 hours.

is the mean longitude of the Moon.

is the mean longitude of the Sun.

is the longitude of the Moon's mean perigee.

is the negative of the longitude of the Moon's mean ascending node on the ecliptic.

or is the longitude of the Sun's mean perigee.

In these expressions, the symbols and refer to an alternative set of fundamental angular arguments (usually preferred for use in modern lunar theory), in which: -is the mean anomaly of the Moon (distance from its perigee), -is the mean anomaly of the Sun (distance from its perigee) -is the Moon's mean argument of latitude (distance from its node), -is the Moon's mean elongation (distance from the sun). It is possible to define several auxiliary variables on the basis of combinations of these. In terms of this system, each tidal constituent frequency can be identified by its Doodson numbers. The strongest tidal constituent "M2" has a frequency of 2 cycles per lunar day, its Doodson numbers are usually written 255.555, meaning that its frequency is composed of twice the first Doodson argument, and zero times all of the others. The second strongest tidal constituent "S2" is due to the sun, its Doodson numbers are 273.555, meaning that its frequency is composed of twice the first Doodson argument, +2 times the second, -2 times the third, and zero times each of the other three. This aggregates to the angular equivalent of mean solar time + 12 hours. These two strongest component frequencies have simple arguments for which the Doodson system might appear needlessly complex, but each of the hundreds of other component frequencies can be briefly specified in a similar way, showing in the aggregate the usefulness of the encoding.

[51] A holdpálya inklinációs periódusa (a leghosszabb nem elhanyagolt periódusidő).

[52] 3,75·1012 W =J/s, összehasonlítva Czelnai 5·1012 J/s adatával

[53] A Broecker-hipotézis a világóceán globális 3D vízkörzése, az óceáni „futószalag” (conveyor belt) fő mozgatójaként a termohalin ventillációs vízsüllyedést nevezte meg.

[54] Az árapály valószínűleg az óceánokban zajló függőleges irányú turbulens keveredés egyik fő előidézője (“tides are perhaps responsible for a large portion of the vertical mixing in the ocean”) (Jayne et al. 2004).