A. függelék - Függelék: a dátumparaméterek becslésének eljárásai

Tartalom

A legjobb vízszintes illesztést biztosító áthidaló Mologyenszkij-paraméterek becslése
A Burša-Wolf paraméterek becslése

Az áthidaló Mologyenszkij-formulák az alapfelületi ellipszoidok egymáshoz képest értelmezett relatív helyzetét a középpontokat összekötő vektor 3 eltolási komponensével jellemzik, és nem veszik figyelembe az esetleges eltérő tájékozást ill. a méretarány kis eltérését, így háromparaméteres dátumtranszformáció néven is ismertek. Az itt elhanyagolt tényezőket is tekintetbe veszi a Burša-Wolf eljárás, amely a 3 eltolási tag mellett 3 elforgatási és egy méretarány-paramétert is tartalmazva kapja a hétparaméteres dátumtranszformáció elnevezést. Mindkét transzformáció paramétereit (és a hatványpolinom-sorokkal történő átváltáséit is) a gyakorlatban azonos pontok, legtöbbször a kiinduló- és a célrendszerben is ismert koordinátájú geodéziai alappontok felhasználásával határozhatjuk meg.

A jelen munka célja: ismert alappontsokaság koordinátái alapján

meghatározási módjának ismertetése.

A legjobb vízszintes illesztést biztosító áthidaló Mologyenszkij-paraméterek becslése

Az eljárás – nevéből is láthatóan – képes közvetlenül a kiinduló és a céldátumon értelmezett ellipszoidi koordináták, ill. ellipszoidi magasságok között kapcsolatot teremteni. A vizsgálatba vont két dátum közötti eltolási paraméterek meghatározásához tehát ez esetben azonos pontok ellipszoidi koordinátáit igényli, mind a kiinduló, mind a céldátumon. A gyakorlatban általában alacsonyabb rendű geodéziai alappontokat használunk az azonos pontokként, amelyek koordinátái legtöbbször valamely jól definiált vetületi rendszerben adottak. Ezért itt szükséges az inverz vetületi egyenletek alkalmazása, hogy a megfelelő kiinduló adatokhoz jussunk.

Az áthidaló Mologyenszkij-formulák:

(1)

(2)

(3)

ahol a meridiángörbületi sugár; a harántgörbületi sugár, ΔΦ” és ΔΛ” a kiinduló ill. a céldátumon értelmezett szélesség- ill. hosszúságkülönbség szögmásodpercben, Δh a kiinduló és a céldátumon értelmezett ellipszoidmagasságok különbsége, f a kiinduló ellipszoid lapultsága, da és df a kiinduló és célellipszoidok félnagytengely- ill. lapultság-eltérése, e az ellipszoid excentricitása.

Az áthidaló Mologyenszkij transzformáció dX, dY és dZ paramétereinek meghatározásához azonos pontokra van szükségünk. Az azonos pontok kiinduló (1) és célrendszerbeli (2) ellipszoidi koordinátáinak különbségének az adott, illetve a transzformáció segítségével számított értékei eltérésének négyzetösszegét akarjuk minimalizálni. Ez megegyezik a mért és számított mennyiségek eltérésének a négyzetösszegének a minimalizálásával. Ennek matemetikai megfogalmazása az alábbi képlet.

(4)

A képletben szerepel, hogy a Λ – ellipszoidi hosszúság – értékek eltérését a skálázó taggal is megszoroztuk. A skálázó tagot azért kell alkalmazni, hogy ne egyszerűen az ellipszoidi koordináták eltérésének a minimumát, hanem az ellipszoidkoordinátákból a vetületi egyenletek segítségével számított síkkordináták eltérésének a minimumát kapjuk. A skálázó tag alkalmazásának a hatására lesz az azonos pontokban a síkkordináták számított és mért értékeinek szórása (közel) azonos az X és Y koordináták esetében. A síkbeli eltérésekre vonatkozó minimum feltétele az, hogy az (1) és (2) egyenletekben fellépő eltérések négyzetösszegeinek a paraméterek szerinti parciális deriváltjai nullák legyenek.

A négyzetösszegek:

(5)

A parciális deriváltak pedig:

(6)

A parciális deriváltakra felírt egyenletekből a paraméterek, dX,dY,dZ, a szummázások elé kiemelhetők, továbbá a helyettesítést alkalmazva az egyenletek a következő alakra hozhatók:

(7)

A (7) egyenletben minden koordináta ill. származtatott mennyiség (görbületi sugarak, stb.) az első rendszerre vonatkozik. Minden vektor- és mátrixelem valójában a (7) egyenletbe beírt kifejezéseknek az ismert pontok értékeire vonatkozó összeget jelent, amelyet azért nem tüntettünk fel, mert úgy az egyenlet áttekinthetetlenné, és nyomdailag már kezelhetetlenné válna. ΔΦ,ΔΛ jelentése az (1) és (2) egyenleteknek megfelelő.

A (7) egyenlet

(8)

alakú inhomogén lineáris egyenletrendszer. Ennek megoldása

(9)

ahol A-1 az A matrix inverze.

A keresett dX, dY és dZ paramétereket az x megoldásvektor tartalmazza.