A Burša-Wolf paraméterek becslése

Amint a bevezető részben említettük, a Burša-Wolf-módszer az azonos pontok eltérő rendszerben vett geocentrikus koordinátái között teremt kapcsolatot. A geocentrikus koordináták kiszámítása az ellipszoidi koordináták és ellipszoidi magasság ismeretében egyszerűen megtehető:

(10)

(11)

(12)

ahol Φ, Λ ill. h a pont földrajzi koordinátái és ellipszoidi magassága, X, Y és Z pedig a geocentrikus koordináták, a többi paraméter értelmezését korábban megtettük. Az alább ismertetett számítások elvégzéséhez az azonos pontok X, Y, Z geocentrikus koordinátáit kell megadnunk.

A Burša-Wolf transzformáció egyenlete:

(13)

ahol X’, Y’ és Z’ a céldátumon értelmezett geocentrikus koordináták, dX, dY és dZ az eltolási, εX, εYés εZaz elforgatási paraméterek, κ a méretaránytényező. Itt ismét megjegyezzük, hogy a (13) egyenletben szereplő mátrix elforgatási tagjainak előjelezése kétféleképpen is történhet. Ha az előjelezés az egyenletben leírt módon történik, akkor a koordináta-rendszer elforgatása a (coordinate frame rotation) konvenció szerinti, amennyiben azzal ellentétesen, akkor a helyvektor elforgatása a (position vector rotation) konvenció szerinti. Bár az ISO19111 szabványtervezet az utóbbit ajánlja, a térinformatikai szoftverek túlnyomó többsége az előbbi szerinti paraméterezést teszi csak lehetővé. A további levezetésekben mi is ez utóbbit (a 13 képlet szerintit) követjük.

A cél tehát olyan transzformációs együtthatók meghatározása amelyek segítségével az azonos pontok célrendszerbeli adott koordinátái és a kiinduló rendszerbeli adott koordinátákból a transzformációval számított célrendszerbeli koordinátáinak eltérése minimális. Ez matematikailag az alábbi formába önthető:

(14)

A (14) egyenletben a ~ jel az ismert adatra (adott koordinátákra) utal, az alsó index a kiinduló (1) illetve a célrendszerre (2). A i index az azonos pontokra vonatkozik, számuk N, az j index pedig a dimenzióra, vagyis a koordináták számára utal – síkkordináták esetén ez 2, térbeli koordináták esetén pedig 3.

A Helmert transzformáció (13) egyenleteit a

(15)

behelyettesítésekkel módosítva

(16)

adódik. A (16) transzformációs egyenletben a meghatározandó paraméterek, (dX, dY, dZ, A, B, C, D) első hatványai szerepelnek szorzótagokként, vagyis a fenti egyenletek a paraméterekre nézve lineárisak. Ebben az esetben a paraméterek meghatározására ismét alkalmazható a Gauss-féle legkisebb négyzetek módszere. A minimumfeltétel konkrét alakja:

(17)

Természetesen a (17) egyenletrendszer az azonos pontok mért koordinátáit tartalmazza, X, Y, Z az azonos pontok megfelelő koordinátái a kiinduló és a célrendszerben. A minimum a mért és számított koordináták különbségeinek négyzetösszegére, vagyis a térbeli lineáris eltérések négyzetére vonatkozik. A feltétel azonos a távolságkülönbség abszolút értékékének minimalizálásával.

A minimum feltétele, hogy a paraméterek, vagyis a dX, dY, dZ, A, B, C és D mennyiségek szerinti parciális deriváltak nullák legyenek. A (17) összefüggés paraméterek szerinti parciális deriváltjai:

(18)

A (18) egyenletrendszerben soronként a 7 paraméter az összegések elé kivihető. Az egyenletrendszer átrendezés után felírható mint egy inhomogén lineáris egyenletrendszer, aminek általános alakja a (8) a egyenlettel megegyezik.

A deriválásokat elvégezve

(19)

adódik. Az A mátrix és a b vektor elemei – az áthidaló Mologyenszkij-féle megoldásnál feltüntetett módon – az azonos pontok szerinti összegeket tartalmazzák, azonban ennek kiírása a megadott mátrixműveletet áttekinthetetlenné tette volna. Ahol a koordináták négyzetei vagy vegyesszorzatai szerepelnek a mátrixelemek vagy a vektorelemek között, ott természetesen ezekre a mennyiségekre kell elvégezni az összegzést. Az összegzés jelzésének elhegyásával együtt a (i) futóindex jelölését is elhagytuk.

A meghatározandó paraméterekből álló x vektor az A mátrix inverzének, A-1 –nek a segítségével, a (9) egyenletben megadott módon állítható elő. Ezután az A, B, C és D mennyiségekből a (15) egyenletnek megfelelően elő kell állítani a κ méretaránytényezőt és α, β és γ szögértékeket. Meg kell említeni, hogy az együtthatók meghatározásához legalább 3 darab, mindkét rendszerben adott X, Y, Z koordinátákkal rendelkező azonos pont szükséges.