3. fejezet - A Föld alakja és annak közelítései

Tartalom

3.1 A Föld feltételezett alakjának változása a tudományban
3.2 A geoid és a forgási ellipszoid
3.3 Háromszögelési hálózatok típusai, kialakításuk és a geodéziai kiegyenlítés

A Föld alakjának jellemzésére többféle definíció kínálkozik. Mi ezek közül mindenképp olyant keresünk, amely függvény formájú: adott gömbi vagy ellipszoidi koordinátához egy értéket rendel: ez lehet a középpontból az adott ponthoz húzott sugár hossza vagy egy tetszőleges módon megválasztott nívófelülethez képest értelmezett magasság.

A szilárd, illetve folyadék fázisnak a légkörrel érintkező határa egy nyilvánvaló lehetőség. E meghatározással kapcsolatban azonban rögvest értelmezési problémákat találunk: a szilárd halmazállapotú növényzet része-e bolygónk alakjának? Mit kezdhetünk az épületekkel vagy az állandóan sodródó jéghegyekkel?

Még ha ezeket a kérdéseket így vagy úgy meg is válaszoljuk, egy gonddal mindenképp szembesülünk: ez a meghatározás nem eredményez egyértékű függvényt. A barlangok, a túlhajló sziklafalak esetén azonos gömbi vagy ellipszoidi koordinátákhoz több magasságérték is rendelhető. Valahogy el kell „simítanunk” a fázishatárok által definiált alakot.

A gravitációs, illetve nehézségi erőtér pontosan ilyen simított felületeket kínál. A Föld geoid (szó szerinti értelemben földszerű) alakját éppen a nehézségi erőtérnek egy bizonyos nívófelületével lehet legjobban leírni. Nívófelületből végtelen sok van: azt választjuk, amelyik a középtengerszinthez legjobban illeszkedik. Ebből következik a geoid kevésbé szabatos, ugyanakkor nagyon szemléletes definíciója: a tengerszint folytatása a szárazföldek alatt. Lássuk, hogyan alakult ki az emberiség közös ismeretanyagában ez a kép, és mire használható a helymeghatározás gyakorlatában.

3.1 A Föld feltételezett alakjának változása a tudományban

Az antik görögök tisztában voltak a Föld gömbszerű alakjával. Eraszthotenész híres kísérlete – melyben a nyári napfordulókor, tehát azonos időpontban, különböző szélességeken a Nap sugarainak beesési szöge eltéréséből megbecsülte a Föld sugarát –, közismert. A becslés pontossága az akkori technikát figyelembevéve figyelemreméltó.

Bár az európai középkor a görögöket tekintette tudományos elődeinek, a Föld alakját mégis laposnak tekintették. Ebből származtak az olyan hiedelmek, mint a „világ vége”; az arra a kérdésre adott válasz, hogy ha azonos irányban sokáig megyünk, hová is jutunk egy lapos, de végesnek tekintett felületen.

A XV.-XVI. század hajózási eredményei és felfedezései, elsősorban Magellán hajóinak Föld körüli útja (1520-21) megrendítették ezt a világképet. Bár a változást a tudományt uraló egyház csak lassan fogadta el, mégis újra teret nyert az a gondolat, hogy bolygónk gömbszerű, illetve az akkori elképzelések szerint gömb alakú.

A szabályos gömb alakot többféle megfigyelés is megkérdőjelezte. A XVII. században az időmérés pontosságát nagyban megnövelte az ingaóra. A pontosan beállított ingaórák napi 1-3 másodperc hibával tudták a Nap két delelése közötti időtartamot megmérni. Egy ilyen, jól beállított ingaórát más szélességi körre – például Párizsból a dél-amerikai Cayenne-be (Francia Guyana) – elszállítva azonban jelentős, egy percet is meghaladó hiba lépett fel. Ennek az az oka, hogy az inga lengésidejét befolyásoló nehézségi gyorsulás értéke változik a földrajzi szélességgel. Párizs közelebb van a Föld tömegközéppontjához, mint Cayenne. Eszerint a Föld gömb alakja kissé torzult, a sugara szélességfüggő, tehát az alak inkább forgási ellipszoid.

Torzult, forgási ellipszoid, de hogyan? Elnyúlt vagy lapult? A sarki vagy az egyenlítői sugár a nagyobb? Mai ésszel talán meglepő, hogy ez a vita több évtizedig foglalkoztatta a csillagászokat, földmérőket, matematikusokat (ez a három szakma akkor szinte azonos volt, legjobbjaik az összes felsorolt szakterületen működtek). Végül a Francia Tudományos Akadémia által szervezett fokmérések oldották meg a problémát. Lappföldön, magas szélességeken, és Peruban, az Egyenlítő közelében is megmérték egy-egy meridiánív hosszát két olyan pont között, ahonnan valamely csillag delelési magassága között pontosan 1 fok különbség adódott. Egyértelmű lett a válasz: Földünk lapult, sarki sugara kisebb, mint az egyenlítői.

A lapult forgási ellipszoid a 2. fejezetben leírt módon egyértelműen definiálható két geometriai adattal. Ezek közül az egyik hagyományosan a fél nagytengely, tehát az egyenlítői sugár, ez megadja az ellipszoid nagyságát. A másik adat – amely lehet a fél kistengely, a lapultság vagy az excentricitás – definiálja az ellipszoid alakját. A korabeli szerzők általában a lapultság reciprokát, az inverz lapultságot adták meg. Ez a szám azt írja le, hogy a sarki és az egyenlítői sugár hossz-különbsége hányadrésze az egyenlítői sugárnak.

Az 1700-as évek végén, az 1800-as évek első felében rendkívül sok ellipszoidot publikáltak, mint a Föld alakjának mind jobb és jobb közelítéseit. Ezeket a közreadó tudós nevével és a közlés évszámával jellemezzük. Így pl. a Zách 1806-os ellipszoid a magyar földmérő-csillagász Zách Ferenc 1806-ban publikált ellipszoidalak-számpárosát jelenti.

A világszerte adott időben legkorszerűbb ellipszoid nagytengelyének és lapultságának időbeli változása

9. ábra. Az „épp legkorszerűbb” ellipszoid nagytengelye (balra) és inverz lapultsága (jobbra) az idő függvényében. Az első adatok a geoid európai alakjára utalnak, majd a gyarmati felmérések módosítják a képet. A görbe végül a globálisan legjobb értékekhez tart.

Az ellipszoidok nagytengelye és inverz lapultsága nem teljesen független egymástól A 9. ábrán láthatjuk e két számérték időbeli változását az adott kor legelfogadottabb ellipszoidjait figyelembe véve 1800-tól napjainkig. Az első időszakot a nagytengely-becslések növekedése, és az inverzlapultság-becslések csökkenése jellemezte. A Föld nagyobb és gömbszerűbb volt, mint azt az első észlelők gondolták. A nagytengely és a lapultság megállapítása azonban technikai és észlelési szempontból nem igazán bonyolult feladat. Miért hát az eltérő eredmények és miért ez a változás?

Az első észlelők egy-egy meridiánív mentén, egy adott fokmérést végezve publikálták adataikat. Az oszták Walbeck 1819-ben kiadott ellipszoidja volt az első, amely több, öt független fokmérés adatainak átlagán alapult. Viszont, ha egy ellipszoidnak tartott test becsült nagytengelye és lapultsága helyről helyre változik, akkor az a test nem ellipszoid.

A geoid

10. ábra. A Föld potenciálelméleti alakja, a geoid, sok ezerszeres magassági torzításban (Forrás: GFZ Potsdam).

Ez az eltérés derült ki a későbbiekben (3.3. pont) tárgyalandó háromszögelési hálózatok kialakításakor is. A fejezet bevezetőjében említett gravitáció-elméleti alakleírást ennek alapján Carl Friedrich Gauss definiálta az 1820-as években, majd az említett geoid nevet Johann Benedict Listing javasolta 1872-ben. A geoid (10. ábra) ismeretében értelmezhetjük az ellipszoid-paraméterek becslésében mutatkozó trendet: a geoid európai darabja alapján a Föld kisebbnek és lapultabbnak tűnik. Ha azonban más földrészeken, pl. az épp ellenkező eredményeket adó Indiában is mérünk, és az eredményeket átlagoljuk, akkor a 9. ábrán látható trendnek megfelelő értékeket fogjuk kapni.

A ma használatos ellipszoidok (pl.: WGS84, GRS67, GRS80, lásd 3.3. pont) paramétereit már a teljes Földre meghatározott geoidalak figyelembevételével határozták meg oly módon, hogy

  • az ellipszoid geometriai középpontja a Föld tömegközéppontjába essen;

  • az ellipszoid forgástengelye a Föld forgástengelyével egybeessen, és

  • az ellipszoid és a geoid térfogata azonos legyen és

  • az ellipszoid és a geoid magassági eltérése a teljes felszínt figyelembe véve minimális legyen.

Adott ponton a geoid és a (választott vagy a legjobban illeszkedő) ellipszoid felülete között a függővonal mentén mért távolságot geoid-undulációnak nevezzük. A legjobban illeszkedő WGS84 ellipszoidhoz képest a geoidunduláció-értékek a Föld felszínén a ±120 métert nem haladják meg.

Összegezve, mai ismereteinket: a Föld egyenlítői sugara kb. 6378 kilométer, az egyenlítői és a sarki sugár hosszának különbsége (a gömb alak torzulása, „hibája”) kb. 21 kilométer, az ellipszoid alak „hibája” pedig 120 méter.