3.2 A geoid és a forgási ellipszoid

A geoid matematikai leírása több módon lehetséges. Megadhatjuk a gömbi vagy ellipszoidi koordináták egyenközű rácshálója csomópontjaiban érvényes, a tömegközéppontból a geoidfelszínhez mutató sugárhosszakat. Megadhatjuk ugyanilyen rácshálóban a geoidfelszínnek a legjobban illeszkedő ellipszoid felszínéhez képest értelmezett magassági helyzetét, a fent definiált geoid-undulációt. Megadhatjuk a geoidot gömbfüggvény-sorfejtéses alakban is. Helyi, illetve regionális geoid-felszíndarab leírására vetületi koordináták (5. fejezet) szerinti rácshálót is használhatunk.

Bármelyik megoldást választjuk is, az nyilvánvaló, hogy a geoid igen bonyolult felület. Amennyiben a felszínt vagy annak egy darabját térképen akarjuk ábrázolni, ehhez valamilyen térképi vetületet kell majd választanunk. A vetületi egyenletek, amelyek a gömb leképezésekor még viszonylag egyszerűek, igen bonyolulttá válnak, ha ellipszoidról kívánunk vetíteni. A geoid, mint alapfelület ebből a szempontból matematikailag kezelhetetlen. Különösen pedig akkor számított annak, amikor a térképvetületek matematikáját kidolgozták, a XIX. században, amikor nem állt rendelkezésre számítógép. Emiatt a térképészeti és geodéziai alkalmazásokban a geoidot forgási ellipszoiddal helyettesítjük.

A közelítéshez használt forgási ellipszoid a legtöbb esetben valamely előre definiált, jól ismert paraméterekkel rendelkező alapfelület (3. táblázat). Figyeljük meg, hogy az egyes ellipszoidok nagytengelyei között, bár a név és az évszám azonos, különféle verziók is lehetségesek (pl. az Everest-ellipszoidok, Bessel 1841-ellipszoid). Ennek oka, hogy az alapfelületek nagytengelyeit nem metrikus rendszerben, hanem pl. yardban vagy lábban adták meg. Ebben az esetben a metrikus rendszerre való áttéréskor fontos az adott hosszmérték és a méter közötti váltószám. Nem mindegy, hogy ezt a váltószámot hány tizedesjegyig definiálják: a negyedik tizedesjegy elhagyása a yard-méter átváltásnál a köznapi életben nem okoz problémát, de ha ebből a yardból több millió van (mint a földsugár esetében) az eltérés több száz méteres!

név

a

b

1/f

f

e

Laplace 1802

6376615

6355776.4

306.0058

0.003268

0.08078

Bohnenberger 1809

6376480

6356799.51

324

0.003086

0.07851

Zach 1809

6376480

6355910.71

310

0.003226

0.08026

Zach-Oriani 1810

6376130

6355562.26

310

0.003226

0.08026

Walbeck 1820

6376896

6355834.85

302.78

0.003303

0.08121

Everest 1830

6377276

6356075.4

300.8

0.003324

0.08147

Bessel 1841

6377397

6356078.96

299.1528

0.003343

0.08170

Struve 1860

6378298

6356657.14

294.73

0.003393

0.08231

Clarke 1866

6378206

6356583.8

294.98

0.00339

0.08227

Clarke 1880

6378249

6356514.87

293.465

0.003408

0.08248

Hayford (Int'l) 1924

6378388

6356911.95

297

0.003367

0.08199

Krassovsky 1940

6378245

6356863.02

298.3

0.003352

0.08181

GRS67

6378160

6356774.52

298.2472

0.003353

0.08182

GRS80

6378137

6356752.31

298.2572

0.003353

0.08182

WGS84

6378137

6356752.31

298.2572

0.003353

0.08182

Mars (MOLA)

3396200

3376200

169.81

0.005889

0.10837

3. táblázat. A térképészetben használt néhány ellipszoid adatai: a: fél-nagytengely; b: fél kistengely; 1/f: inverz lapultság; e: excentricitás.

Az ellipszoidnak a geoidhoz való illesztése a geodézia egyik fontos feladata. A kozmikus geodézia eszközeinek megjelenéséig ez a gyakorlatban a háromszögelési hálózatok kialakításával és (később) kiegyenlítésével történt.