3.3 Háromszögelési hálózatok típusai, kialakításuk és a geodéziai kiegyenlítés

Két pont távolságának meghatározása – amennyiben a pontok nincsenek túl messze egymástól – a pontok közötti egyenesen a hosszmértéknek megfelelő egység egymás mögé fektetésével lehetséges. Amennyiben a két pont távolsága nagyobb, ez az eljárás hirtelen igen bonyolulttá és nehezen kivitelezhetővé válik. Egymástól több száz méter távolságban lévő pontok távolsága ilyen módon már nagyon munka- és költségigényes.

Gemma Frisius háromszögelésének vázlata

11. ábra. Gemma Frisius 16. századi belgiumi háromszögelésének vázlata.

Snellius 1615-ös háromszögelése

12. ábra. Snellius 1615-ös holland háromszögelésével állapították meg Alkmaar (északon) és Breda (délen) távolságát, mocsarakon és folyókon keresztül.

Már a XVII. század elején kifejlesztették azt a módszert, amellyel a nagyobb távolságok megmérése visszavezethető egy kisebb távolság és több-kevesebb szög megmérésére. Az 1500-as években Gemma Frisius kísérletei (11. ábra) nyomán 1615-ben a holland Snellius végezte el híres háromszögelését, amellyel két város, az egymástól elég messze eső Alkmaar és Breda templomtornyai közötti, mintegy 140 kilométeres távolságot mérte meg (12. ábra). A mérés során a két város között elhelyezkedő templomtornyok (mint csúcspontok) között háromszöghálót létesített, és a háromszögek szögeit mérte meg, mert az erre szolgáló műszert, a teodolitot, addigra kifejlesztették. Ezek után csak egyetlen oldalhosszt kellett hagyományos módon megmérni, s a háromszögháló valamennyi oldalhossza kiszámítható volt. Snellius mérése egy érdekes felfedezéshez járult hozzá: a háromszögek mért szögeinek összege nem 180°-nak, hanem annál kicsivel többnek adódott (13. ábra). Ez a Föld gömbszerű (nem sík) alakjának következménye, mivel a gömbfelületen értelmezett háromszögek szögeinek összege az ún. gömbi szögfölösleggel tér el a 180°-tól. A geometria új ága, a gömbháromszögtan születésének volt ez a pillanata.

A János-hegyről 1901-ban mért szögek

13. ábra. A János-hegy alappontból észlelt geodéziai alappontok iránya közt szögek, és azok összege (osztrák-magyar felmérés, 1901). A szögek összege a gömbszerű alapfelületi mérés miatt 5,76 szögmásodperccel meghaladja a 360 fokot.

A háromszögelési hálózatokkal nemcsak távolságok, hanem koordináták is meghatározhatók. Ehhez az szükséges, hogy a hálózat egy pontjának meghatározzuk a földrajzi koordinátáit. Ezért van az, hogy a háromszögelési hálózatok főalappontjának általában egy csillagvizsgálót választottak: a helymeghatározás itt a legegyszerűbb. A hálózat szükséges része még az ún. alapvonal: két, a hálózatba kapcsolt pont, amelynek távolságát hagyományos módon nagyon pontosan megmérik. Amennyiben ezek adottak, s a háromszögelési hálózat csomópontjainak magasságát is megmérik, a köztük fellépő szögeket meghatározzák, úgy – itt nem részletezett módon – valamennyi alappont földrajzi koordinátája megbecsülhető egy előre kiválasztott ellipszoidot feltételezve. A kapott koordinátákban a földrajzi hosszúság a csillagvizsgáló délköréhez – meridiánjához – képest értelmezett szögkülönbség lesz (14. ábra).

Osztrák-magyar háromszögelési hálózat

14. ábra. Az 1901-es felmérés háromszögelési hálózata Bécs és Budapest térségében.

Ez utóbbi megállapítás a magyarázata annak, miért ismeretes olyan sok kezdőmeridián a XVIII. és XIX. századi geodéziai felmérésekben: a szikratávíró feltalálása előtt nagyon körülményes feladat volt két távoli csillagvizsgáló hosszúságkülönbségét pontosan meghatározni. A közös háromszögelési hálózatba kapcsolás nem volt mindig megoldható – és mint azt mindjárt látni fogjuk –, az sem vezetett volna teljesen pontos eredményre. Emiatt rendkívül változatos, és sokszor igen szellemes módokat találtak arra, hogyan is mérhetik meg valamely csillag pozícióját a két obszervatóriumban pontosan ugyanabban a pillanatban. A Jupiter-holdak fogyatkozásai, illetve más esetekben az obszervatóriumok közötti hegytetőkön végzett lőpor-robbantások is eszközül szolgáltak ehhez. A greenwich-i kezdőmeridián csak a XX. század első felében kezdett általános „szabvánnyá” válni és még ma sem kizárólagos (lásd 2.2. pont).

Az egyes alapponti koordináták meghatározásának ellenőrzéseként a háromszögelési hálózatokba több alapvonalat is bekapcsoltak, illetve – ami az eljárást forradalmasította – több alapponton (az ún. Laplace-pontokon) is meghatározták a földrajzi koordinátákat, csillagászati eszközökkel. Az így mért helyzet azonban eltért a más mérések alapján a háromszögháló felhasználásával számított helyzettől. Az eltérés mindig jelentkezett és nem volt előre jósolható. Az eltérés oka a Föld ellipszoidtól eltérő volta, a Föld geoid alakja. Az egyes pontokon végzett csillagászati helymeghatározás a helyi vízszintes és függőleges irány ismeretén alapul, ezek az irányok azonban az ellipszoidról eltérő alak miatt helyről helyre kismértékben változnak. Az alak majdnem ellipszoid – de nem teljesen az.

A probléma a XIX. század első felében akkora jelentőségű volt, hogy Carl Friedrich Gauss éppen ennek a megoldására fejlesztette ki a legkisebb négyzetek módszerét. A cél az, hogy az alappontok koordinátáit úgy változtassuk meg, hogy a Laplace-pontokon fellépő eltérések négyzetösszege minimális legyen. Az eljárás neve: a geodéziai hálózat kiegyenlítése, lényegében a geoid alak okozta hibák egyenletes elosztása, „elkenése” a hálózat területén. A kiegyenlítés eredménye: a terepen állandósított alappontok és azok rögzített, „kőbe vésett” koordinátái.

A geodéziai kiegyenlítés geometriai jelentése

15. ábra. A geodéziai hálózat-kiegyenlítés eredménye: az ellipszoid jól illeszkedik a geoid felmért darabjához, középpontja viszont nem esik egybe a Föld tömegközéppontjával.

Mit eredményez a kiegyenlítés, mármint geometriai szempontból? Egy olyan ellipszoidot, amelynek méretparamétereit a hálózati feldolgozás elején rögzítettük, amelynek kistengelye (közel) párhuzamos a Föld forgástengelyével, és amely térben a legjobban illeszkedik a geoidnak ahhoz a darabjához, amelyre a kiegyenlített háromszögelési hálózat kiterjed. Ennek az ellipszoidnak a középpontja nem esik egybe a Föld tömegközéppontjával (15. ábra). Ily módon az ellipszoidnak már nemcsak a méretparaméterei ismertek, de a térbeli elhelyezése is adott.

A térbeli elhelyezés és annak módja szempontjából három típust különítünk el:

Önkényes elhelyezés: csak egy csillagászati alappont van, a hálózat nincs kiegyenlítve, az ellipszoid térbeli helyzete a geoid egy pontjának normálisához rögzített. Jellemzően a kis óceáni szigetek önálló geodéziai rendszerei ilyenek, sokszor ASTRO megjelöléssel. A korai, de geodéziai alappal már rendelkező térképművek alapfelülete is sok esetben ilyen.

Relatív elhelyezés: a háromszögelési hálózat kiegyenlítése megtörtént, annak eredményeként az ellipszoid térbeli helyzete a geoid egy felületdarabjához képest optimális.

Abszolút elhelyezés (földi ellipszoid): az alapfelület geometriai középpontja a tömegközéppontban van, kistengelye a forgástengellyel egybeesik. Hagyományos, földi geodéziai-geofizikai eszközökkel nem valósítható meg (felszíni mérésekkel a tömegközéppont iránya nem határozható meg), definiálásához műholdas geodéziai eszközök (Doppler-mérések, GPS) szükségesek. Az 1960-as éveket megelőzően földi ellipszoidokat nem definiáltak.