4.3 A Burša-Wolf-féle dátumparaméterezés

A Burša-Wolf-féle paraméterezés (a cseh Milan Burša és a német Helmut Wolf munkája nyomán) annyiban tér el az előző pontban tárgyalttól, hogy figyelembe veszi a két alapfelület közötti tájékozási eltéréseket (18. ábra), illetve azt, ha a két alapfelület mérete az ellipszoidok méretéhez képest kismértékben más. A transzformáció bemenő és kimenő adatai a pont derékszögű koordinátái:

(4.3.1)

A Burša-Wolf-féle dátumtranszformáció

18. ábra. A Bursa-Wolf-transzformáció nemcsak az elhelyezési, hanem a tájékozási különbségeket is figyelembe veszi két dátum-ellipszoid közt.

A (4.3.1) képlet úgy származtatható, hogy a három irány szerinti elforgatási mátrix szorzataként előálló általános forgatási mátrix (az ún. térbeli Helmert-transzformáció mátrix) elemeiben elvégezzük a nagyon kicsi (néhány, vagy maximum néhány tíz szögmásodperces) szögelfordulás esetében megtehető elhanyagolásokat és behelyettesítéseket.

A (4.3.1) egyenletben megadott forgatási mátix nem diagonális elemeinek előjel-konvenciója kétféle lehet. Amennyiben a mátrixot a (4.3.1) egyenletben adott módon írjuk fel, akkor az a „koordináta-rendszer elforgatása” (coordinate frame rotation) konvenciónak felel meg, ekkor ugyanis a kiinduló alapfelülethez rögzített koordináta-rendszert forgatjuk el a felsorolt kis szögértékekkel. Amennyiben a mátrix nem diagonális elemeinek előjelét megfordítjuk, akkor az ún. „helyvektor elforgatása” (position vector rotation) konvenciónak megfelelő leíráshoz jutunk. Ebben az esetben a kiinduló alapfelülethez képest megadott, a vizsgált ponthoz mutató helyvektor elforgatásának komponenseit adjuk meg.

A két említett konvenció közül nincs kiválasztott szabvány. Az Egyesült Államok, Kanada és Ausztrália a „koordináta-rendszer elforgatása” konvenciót, míg a nyugat-európai országok inkább a „helyvektor elforgatása” konvenciót preferálják. Az ISO19990 szabványtervezet (draft) is ez utóbbit ajánlja, azonban az USA ellenállása miatt ennek szabványkénti elfogadása belátható időn belül kétséges. Mivel a térinformatikai szoftverek többségét az Egyesült Államok - Kanada - Ausztália országcsoportban készítik, e programcsomagokban az ennek megfelelő konvenció az alapértelmezés.

Amennyiben a Burša-Wolf paraméterezésnek megfelelő paramétercsoporthoz jutunk, feltétlenül meg kell tudnunk, hogy az melyik konvenció szerint van értelmezve. Ha ez nem tudható meg, akkor először értelmezzük a „koordináta-rendszer elforgatása” módszer szerint, végezzünk ellenőrzést a saját adatainkon, és ha a transzformáció hibásnak bizonyul, fordítsuk meg a forgatási mátrix nem-diagonális elemeinek előjelét.

Az előző fejezetben, a Mologyenszkij-paraméterek esetében bemutatott, az egymás utáni transzformációk paramétereinek összegzéssel való meghatározhatósága, az ún. linearitás a Burša-Wolf transzformációra is igaz. Ez az első pillantásra talán meglepő állítás matematikailag egyszerűen belátható. Az alábbiakban az érdeklődők számára bemutatjuk, hogy két, Burša-Wolf-féle dátumtranszformáció egymás utáni elvégzése hogyan és milyen pontossággal helyettesíthető egyetlen átalakítással, és e helyettesítő transzformációnak melyek a paraméterei.

A (4.3.1) egyenlet két transzformáció egymás utáni alkalmazása esetén:

x’=dx2+(1+k2)A2[dx1+(1+k1)A1x]

(4.3.2)

alakban írható fel, ahol dx1 és dx2 a két eltolási vektor, k1 és k2 a két méretaránytényező, A1 és A2 a két forgatási mátrix, x a transzformáció bemenő geocentrikus helyvektora, x’ az eredmény. Az egyenlet átrendezve:

x’=dx2+(1+k2)A2dx1+(1+k2)(1+k1)A1A2x

(4.3.3)

alakra hozható, innen pedig az “eredő” transzformáció dxe,ke és Ae paraméterei:

dxe=dx2+(1+k2)A2dx1

(4.3.4)

ke=k1+k2+k1k2 ≈ k1+k2

(4.3.5)

Ae=A1A2 A1+A2

(4.3.6)

Az (4.3.5) egyenlet végén írt közelítés azonnal, a (4.3.6) egyenletben írt pedig a mátrixszorzás elvégzésével megérthető, ha elhagyjuk a méretaránytényező, illetve az igen kis elforgatási szögek négyzetének nagyságrendjébe eső tagokat. A (4.3.4) egyenlet jobb oldalán levő összeg megfelel a második transzformációnak a dx1 eltolásvektorra alkalmazásakor előálló eredménynek. A milliomod nagyságrendű méretaránytényező elhagyásával

dxe=dx2+A2dx1≈ dx1+dx2

(4.3.7)

alakban írható. Az így kapott közelítés a transzformációkba általában behelyettesítetthez képest igen rövid vektorra alkalmazás esetén helytálló – az egyszerűsítésből származó eltérés maximum centiméteres nagyságrendű, az ezáltal okozott horizontális hiba pedig ennél is kisebb. Az eredő transzformáció paraméterei tehát valóban előállíthatóak a két egymás után alkalmazott transzformáció megfelelő paramétereinek összegeként.