4.5 A transzformációs paraméterek becslése

Ha adott a geodéziai alappontok egy olyan halmaza, amelynek ellipszoidi koordinátái két függetlenül meghatározott (kiegyenlített) alapfelületen is ismertek (közös alappontok), akkor meghatározhatjuk a két alapfelület (dátum) közötti áthidaló Mologyenszkij-féle, illetve Burša-Wolf-féle paramétereket.

Az ÁM-paramétereknek, tehát a két dátumellipszoid középpontja közötti vektor komponenseinek számítása viszonylag egyszerű, és már abban az esetben is végrehajtható, ha csak egyetlen pont, például a hálózat kezdőpontja ellipszoidi koordinátái ismertek. Ebben az esetben a koordináták, az ellipszoidok méretparaméterei és az (ismert vagy becsült) geoidunduláció-értékek felhasználásával kiszámítjuk a pont térbeli derékszögű koordinátáit mindkét rendszerben. Ezután e két koordináta-hármast a pont két rendszerbeli helyvektoraként értelmezve, ezek különbségvektorának komponensei adják a keresett paramétereket. Először a kezdőponti koordinátákat a

(4.5.1)

egyenletekkel geocentrikus derékszögű koordinátákká alakítjuk előbb a vizsgált dátumon, majd a WGS84 ellipszoidon, végül a paraméterek a

(4.5.2)

különbségek képzésével kaphatók meg.

Itt hívjuk fel a figyelmet arra, hogy a (4.5.1) képletben a h magasság az ellipszoid feletti magasságot jelenti (vö. 3. fejezet). Amennyiben az alappont tengerszint feletti magassága nem ismert, az eljárás a következő: a jellemzendő dátumon a h magasságot az ott az adott dátumellipszoidhoz képest értelmezett geoidunduláció-értékre állítjuk. Amennyiben erről nincs adatunk, válasszunk zérus értéket. A WGS84 feletti magasságértéket helyettesítsük a ponton érvényes, a WGS84-ben érvényes geoidunduláció-értékkel, amelyet lokális vagy globális geoidmodellből, pl. az EGM96 modellből könnyen megkaphatunk. Az EGM96 modell és az undulációt kiszámító program az Interneten elérhető.

Amennyiben több közös alappontunk van, úgy a fenti műveletet pontonként is elvégezhetjük, és a végeredményként megadott paramétereket a pontonként meghatározott paraméterek átlagaként adhatjuk meg.

A fenti számítással olyan paramétereket kapunk, amelyek a transzformációt térben optimalizálva írják le. Arra is van lehetőség (bár lényegesen bonyolultabb számításokat igényel), hogy azt a paraméter-hármast határozzuk meg, amely vízszintes értelemben minimális hibával írja le a transzformációt. A szükséges számítások elérhetőségét a fejezet végi irodalomjegyzékben találhatjuk meg.

A Burša-Wolf transzformáció paramétereinek becslése lényegesen bonyolultabb feladat. A jegyzet mellékletében megadjuk a számítás egy lehetséges, matematikalag zárt módját. A megadott levezetés áttanulmányozása és megértése csak az ezzel a problémával közvetlenül foglalkozó felhasználók számára szükséges, a többiek elegendő ha elfogadják, hogy a paraméterek becslése így is lehetséges.

A továbbiakban egy ennél egyszerűbb módszert ismertetünk.

A mellékletbeli levezetésssel kapott paraméterek – az együttes becslés következtében – egyenként ritkán hordoznak információt a hálózatok közötti valódi elhelyezési viszonyokról. Általánosságban is elmondható, hogy nagyon különbözőnek látszó paramétersorok is hasonló pontossággal írhatják le két alapfelület egymáshoz képest érvényes helyzetét, és nem ismerünk olyan eljárást, amely a Mologyenszkij-transzformációhoz hasonlóan, egyszerűen kimutatja két paramétersor ekvivalenciáját. Létezik azonban olyan eljárás, amellyel a transzformáció 3 elhelyezési, 3 tájékozási és egy méretarányparamétere egymástól függetlenül megbecsülhető, pusztán a hálózatokkal kapcsolatos néhány alapinformáció segítségével.

Tételezzük fel, hogy egyik alapfelületünk a WGS84 geocentrikus dátum, míg a másik valamelyik regionális háromszögelési hálózat, amelynek adott a kezdőpontja (amelynek koordinátáját ismerjük), és adottak e pont WGS84 ellipszoidi koordinátái is. Első lépésben a (4.5.2) képletnek megfelelően kiszámítjuk a két rendszer közötti Mologyenszkij-paramétereket, majd ezekhez az alábbiak szerint úgy választjuk meg a további 3+1 paramétert, hogy a horizontális, illetve a térbeli transzformáció pontosságát a lehető legnagyobb mértékben javítsuk.

Ehhez először is fel kell használnunk azt, hogy a méretaránytényező változtatása a horizontális koordinátákra gyakorlatilag elhanyagolható. A vízszintes illeszkedést az elforgatási paraméterek befolyásolják, míg a méretaránytényező ettől függetlenül más mennyiséghez, a geoid-undulációhoz kapcsolódik.

Észre kell vegyük továbbá, hogy a három elforgatási paraméter (rX, rY, rZ), illetve a regionális rendszer kezdőponti koordinátái (φ,λ) és a kezdőpont körüli elforgatás α szöge (3 adat) között egyértelmű megfeleltetés létesíthető a következő módon:

(4.5.3)

(4.5.4)

(4.5.5)

illetve az inverz irányban, ellipszoidi esetben:

(4.5.6)

(4.5.7)

(4.5.8)

Ezen adatok közül a kezdőpont koordinátáit ismerjük. A kezdőpont körüli elforgatás szögére vonatkozóan csak akkor tehetünk számításon alapuló becslést, ha mind a kezdőpontnak, mind pedig a tájékozáshoz használt másik alappontnak (tehát a megadott azimuttal rendelkező háromszögoldal, ld. 3.3. pont, mindkét végpontjának) ismerjük mindkét rendszerben a koordinátáit. Ha nem is ez a helyzet, a problémát akkor is visszavezettük egy egydimenziós minimumkeresési problémára: az ismert alappont körül milyen elforgatási szög eredményez minimális hibát a két alapfelület közötti transzformációban? Ez a feladat iterációval oldható meg a legegyszerűbben, amelyet akár táblázatkezelő program segítségével, manuálisan is elvégezhetünk.

A méretaránytényezőt, amely a kiindulási rendszerhez és a célrendszerhez felhasznált alapvonal(ak) hosszúságetalonjai közti különbségre – lényegében az alapvonalak mérésének hibájára – utal, szintén megbecsülhetjük a fentihez hasonló iterációs eljárással.

Ezzel a módszerrel nemcsak megkerülhetjük a többdimenziós paraméterbecsléshez szükséges bonyolult matematikai eljárást, de a kapott paraméterek fizikai-geometriai jelentéssel is bírnak.