5. fejezet - Térképek és vetületek

Tartalom

5.1 Vetületek és paraméterezésük
5.2 Átszámítások különböző vetületi koordináták között
5.3 Helyettesítő vetületek
5.4 A térképek szelvényezése és a szelvényezés által hordozott georeferencia

A térinformatika számára a térképek fontos adatforrást jelentenek. Sok esetben a térkép szkennelt formában, mint raszteres kép áll rendelkezésre, és az adatokat a képi információk hordozzák. Előfordul, hogy a térkép adatainak egy részét vektoros formában rögzíteni, digitalizálni szeretnénk. Az ilyen információk hasznosításához elengedhetetlen, hogy a térkép kiegészítő információit felhasználva geokódolni tudjuk annak tartalmát. Ebben a fejezetben felsoroljuk e kiegészítő információkat és megadjuk az értelmezésükhöz és kezelésükhöz szükséges ismereteket.

A térképek az alapfelület vetítéssel történő síkbafejtésének eredményei. Így minden térképnek kell hogy legyen alapfelülete, dátuma (4. fejezet), amelynek felszínét valamely vetület egyenleteinek felhasználásával síkba fejtjük. A térinformatikai szoftverek általában ismerik a fontosabb vetületek egyenleteit, így e fejezetben igyekszünk úgy áttekinteni a vetületeket, hogy azok egyenleteinek konkrét felhasználására az Olvasó, ha lehet, ne legyen rászorulva.

5.1 Vetületek és paraméterezésük

A Föld geoid-, illetve közelítőleg ellipszoid alakjának felszínét térképi ábrázolásokhoz síkba kell fejteni. Ez a művelet nem végezhető el torzításmentesen sem a gömb, sem az ellipszoid felszínéről. A síkba fejtés művelete a vetítés. A gömb, illetve az ellipszoid felszínének pontjait hengerpalástra, kúppalástra vagy síkfelületre lehet vetíteni (21. ábra), a henger- és a kúppalást pedig már síkba „teregethető”.

Vetülettípusok

21. ábra. A gömbfelület síkra vetítése: henger-, kúp és síkvetület.

A vetületeket vetületi egyenletek valósítják meg. Ezek az egyenletek írják le a kapott síkkoordináták (vetületi koordináták) és a gömbi vagy ellipszoidi koordináták közötti kapcsolatot. A vetületi egyenletek általános alakja a következő:

E=f1(φ, λ, p1,…,pn);

(5.1.1)

N=f2(φ, λ, p1,…,pn).

(5.1.2)

Ahol E és N a vizsgált pont vetületi síkkordinátái. Az elnevezéssel (E: Eastings; N: Northings; tehát keleti és északi irányú koordináták) feltételezzük, hogy a vetített koordinátarendszer tengelyei keleti és északi irányba növekvő értékeket jeleznek, tehát a rendszer északkeleti tájékozású. Ez a legtöbb esetben igaz, a lényeges eltérésekre még visszatérünk. A térkép méretarányának pontos definíciója: az a (általában 1-nél jóval kisebb) szám, amellyel a kapott E és N koordinátákat meg kell szoroznunk ahhoz, hogy a kívánt területet a térkép papírján ábrázolni tudjuk. Az

φ =g1(E,N,p1,…,pn);

(5.1.3)

Λ=g2(E,N,p1,…,pn).

(5.1.4)

egyenletek a vetület ún. inverz egyenletei. Az f1 és f2, illetve a g1 és g2 függvények a vetület típusától függenek, és sokszor igen bonyolult alakúak. A térinformatikai gyakorlatban általában nem szükséges, hogy a vetületek konkrét alakját ismerjük, vagy hogy azokkal számolni tudjunk: az általunk használt térinformatikai szoftver, vagy adott esetben a GPS-vevő szoftvere általában ismeri ezeket, és elegendő, ha mi ezek kezelését ismerjük.

A vetületi egyenletek a gyakorlatban egzaktaknak tekinthetők, ami azt jelenti, hogy a direkt és az inverz egyenletek egymás utáni alkalmazásakor az eredeti koordinátákat milliméternél pontosabban kapjuk vissza.

A p1,…,pnparaméterek a konkrét vetülettől függenek, és a paraméterek számát a vetület típusa szabja meg. Például a transzverzális szögtartó hengervetületnek öt paramétere van, de a ferdetengelyű szögtartó hengervetületnek hat. Ezeket a paramétereket (általában 5 vagy 6 számot) és a vetület típusát vagy a használt szoftvernek, vagy – ami sokkal megnyugtatóbb – nekünk magunknak, ismerni kell. Lássuk, milyen paraméterek tartoznak a vetületekhez.

Bármilyen vetületre igaz, hogy tartozik hozzá egy ún. vetületi kezdőpont, amelynek ellipszoidi szélessége és hosszúsága két vetületi paraméter. A kezdőpont a sík, a kúp vagy a henger (tehát a képfelület) és az alapfelület érintési pontja. Amennyiben a képfelület az alapfelülethez képest forgás-szimmetrikusan helyezkedik el, akkor a kezdőpont hosszúsága önkényesen választott, de a szabványosított vetületek esetén előre rögzített érték. Amennyiben az érintés egy vonal mentén történik, ezt a vonalat vetületi középvonalnak nevezzük.

További paraméter az ún. méretaránytényező. A vetítés ugyanis nemcsak érintő, hanem metsző helyzetű képfelületre is történhet (ebben az esetben a kezdőponttól, illetve a középvonaltól nagyobb távolságig tart az „elfogadhatóan alacsony torzulás” zónája). A képfelületet (síkot, kúpot, hengert) a méretarányskálatényezővel kicsinyítjük (a kivétel Írország, ahol nagyítás van), redukáljuk (22. ábra). Az érintési, illetve metszési pontokban nem lép fel torzulás.

Redukált elhelyezésű vetületek

22. ábra. Amennyiben a kúpot, a hengert vagy a síkot metsző helyzetben alkalmazzuk a vetítéskor, a vastagon jelölt metszésvonalakon nem lesz hossztorzulás.

A vetületi kezdőpont tényleges vetületi koordinátái, tehát a keleti és északi irányú eltolás, a „hamis” keleti és északi koordináták (FE: False Eastings; FN: False Northings), általában méterben értelmezett paraméterek. Ezek lehetnek zérus értékek is: az ettől való eltérést azért vezetik be, hogy a térképezett területen mindenütt pozitív vetületi koordináták legyenek, és esetleg az északi vagy a keleti koordináták közül az egyik a teljes térképezett területen nagyobb legyen, mint a másik („bolondbiztos” vetületi definíció).

A redukált kúpvetületek esetén a méretaránytényező helyett megadható annak a két paralelkörnek a szélessége, ahol a képfelület és az alapfelület metszi egymást, ezeket standard paralelköröknek nevezzük.

A ferdetengelyű hengervetületek vetületi kezdőpontja lehet a középvonalnak az Egyenlítőtől legtávolabbi pontja (Laborde-vetület) vagy az Egyenlítővel való metszéspontja (Hotine-vetület). A vetület definiálásakor általános értelemben a középvonal bármely pontja lehet a vetületi kezdőpont. Meg kell emiatt adni a középvonalnak a kezdőponton vett áthaladási irányát, azimutját. A középvonal definiálható kép adott pontjával is (23. ábra).

Ferdetengelyű Mercator-vetület

23. ábra. A ferdetengelyű Mercator-vetület (ilyen a magyar EOV is) érintési vonala ferde főkör; e mentén minimális a hossztorzulás.

A vetületeket leíró szabványok sokszor említenek ún. kettős vetítést. Ekkor a vetületi egyenletek két lépésben írhatók fel. Első lépésben az ellipszoidról gömbre vetítünk, majd a gömbről a képfelületre. Ennek az az oka, hogy a számítógép előtti időben a közvetlen vetítés elvégzése túl bonyolult számításokat igényelt. Ez ma általában nem jelent gondot, a térinformatikai szoftverek által használt formulák nagyon jó közelítései a kettős vetítésnek, az eltérés a milliméter töredéke. Ha a gömb és az ellipszoid metszéspontjának szélessége (az ún. normálparalelkör) nem esik egybe a vetületi kezdőponttal, akkor a későbbiekben említett közelítő egyenletek módszerét használhatjuk.

A világon használt vetülettípusok száma több tízre tehető, ezek közül azonban csak néhány az, amely a topográfiai térképezésben használatos a világ országaiban. A következő bekezdésekben a három legelterjedtebb változatot: a transzverzális Mercator-vetületet, a Lambert-féle kúpvetületet és a sztereografikus síkvetületet tekintjük át. Előrebocsátjuk, hogy mindhárom tárgyalt vetülettípus szögtartó, azaz egy adott tereptárgytól két másik ponthoz húzott terepi egyenes szöge megegyezik a terepi egyeneseknek megfelelő térképi görbe vonalaknak a tereptárgynál vett érintői által bezárt szöggel.

A transzverzális Mercator-vetület esetén a hengerpalást forgástengelye az Egyenlítő síkjába esik. A vetületi kezdőpont az Egyenlítőn van. Érintő esetben az alapfelület és a képfelület egy meridiánív mentén érinti egymást, ez a vetület középvonala. Ha a méretaránytényező 1 (például a Varsói Szerződés által korábban használt Gauss-Krüger vetület esetén), akkor a henger érintő helyzetű, és a középmeridián mindkét oldalán kb. 180 kilométerre nyúlik az a sáv, amelyen belül a hossztorzulások 1/10000 alatt maradnak. 1-nél kisebb méretaránytényező esetén (például az UTM; Universal Transverse Mercator, vetület esetén, ahol 0,9996) a hengerpalást metsző helyzetű, és az alacsony hossztorzulású sáv szélesebb. A kezdőpont vetületi koordinátái közül az északit rendszerint (de nem mindig!) nullának választják, a keletit pedig úgy definiálják, hogy az értelmezett tartományon sehol ne legyen negatív (pl. 500000 méter).

A Lambert-féle szögtartó kúpvetület esetén a kúppalást forgástengelye az alapfelületnek használt ellipszoid kistengelyével esik egybe. A vetületi középvonal a kúp és az ellipszoid metszésvonalát jelentő paralelkör (az ún. normálparalel) valamely kijelölt pontja. Ennek vetületi koordinátáit általában úgy választják meg, hogy a térképezett területen mindenütt pozitív koordináták adódjanak. Ezt a vetületet ritkán használják érintő változatban, általában egy 1-nél kisebb méretaránytényezővel redukálják. A vetület definiálható a kezdőponttal és a méretaránytényezővel, vagy a kezdőponttal és a két metsző paralellel, az ún. standard paralelkörökkel.

A sztereografikus síkvetület (Roussilhe-vetület) esetén az alapfelület valamely pontjához síkot illesztünk, és erre végezzük el a vetítést. A kezdőpont a sík és az ellipszoid érintési pontja. Ha a méretaránytényező 1 (érintő helyzet), akkor a kezdőpont körül kb. 127 kilométer sugarú körön belül marad 1/10000 alatt a hossztorzulás. 1-nél kisebb méretaránytényező (metsző sík) esetén ez a tartomány szélesebb lesz.

A felsorolt három (és az összes többi) vetület esetén tehát van olyan zóna, amelyben a hossztorzulás elfogadhatóan alacsony. A transzverzális Mercator-vetület esetén ez a zóna egy meridián mentén húzódó, észak-déli irányú sáv. A Lambert-féle szögtartó kúpvetület esetén a zóna egy paralel mentén húzódó, kelet-nyugat irányú sáv, míg a sztereografikus síkvetület esetén egy pont körüli, nagyjából kör alakú tartomány.

Amennyiben a térképezendő terület túlnyúlik ezen a sávon (pl. nagyobb országok, tartományok, vagy az egész Föld felszíne esetén) akkor több, eltérő kezdőponttal rendelkező vetületet definiálnak az egyes zónák számára. Például Franciaországban 4 darab Lambert-kúpvetület alkotja a 4, kelet-nyugati irányban elnyúló zónát. Németországban 5, Ausztriában 3 darab transzverzális Mercator-vetület alkotja az észak-déli irányú zónákat. Lengyelország 1965-ös zónarendszere 4 darab sztereografikus és egy transzverzális Mercator-vetületből áll. Ezeket a vetület-csoportokat vetületi rendszereknek nevezzük.

Kisebb országok esetén egy vetület is elegendő. Hollandia esetén elegendő egyetlen sztereografikus síkvetület definiálása. Romániában, bár az ország területe jócskán meghaladja a kis torzulás zónáját, szintén egyetlen sztereografikus vetületet definiáltak. Az országok, vagy a térképezendő tartományok alakja megszabhatja, hogy milyen vetületet érdemes választani annak érdekében, hogy egyetlen, de kellően alacsony torzulású zóna alkalmas legyen a térképezésre. Észak-déli irányban elnyúlt országok (pl. Chile, Portugália) a transzverzális Mercator-vetületet választották, míg kelet-nyugati irányban elnyúlt államok (mint Belgium vagy Észtország) számára a Lambert-vetület az alkalmas. Svájc és Magyarország ezért választott ferdetengelyű hengervetületet (bár a Lambert-vetület is alkalmas lenne egy zónának). A két világháború közötti Csehszlovákia (a mai Csehország és Szlovákia területe mellett Kárpátalja is ide tartozott) csak ferdetengelyű kúpvetület esetén volt egy zónába osztható. Az egyes országokban használt vetületek típusait és paramétereit a Mellékletekben találhatjuk meg.

A vetületi egyenletek felhasználásával készült térképen azok a vonalak, amelyek azokat a pontokat tartalmazzák, amelyek az északi vagy a keleti irányban azonos vetületi koordinátával bírnak (ún. vetületi koordináta-vonalak) egyenesek, és a két irány szerint egymásra merőleges egyenes-sereget alkotnak. A fokhálózati vonalak képe általában valamilyen görbe vonal. Csak bizonyos kitüntetett paralelkörök vagy meridiánok képe egyenes. A hálózati észak (a vetületi koordináta-vonalak északra mutató vége) és a földrajzi észak (a meridiánok képe) közötti szög az ún. meridián-konvergencia, amely általában helyről helyre változik (egyes vetületeknél, pl. a normál elhelyezésű Mercator-vetület esetében, mindenütt nulla). Mindig tartsuk észben, hogy még az olyan kisméretarányú térképek esetében is, amelyeken a vetületi koordináták nem, csak a fokhálózat van feltüntetve, a vetületi koordinátavonalak alkotják a láthatatlan „négyzethálót”.